Date/heure
30 septembre 2021
14:30 - 15:30
Lieu
Salle Döblin
Oratrice ou orateur
Yann Bugeaud
Catégorie d'évènement Séminaire de Théorie des Nombres de Nancy-Metz
Résumé
Soient $\theta$ et $\rho$ des nombres réels avec $0 \le \theta, \rho < 1$ et $\theta$ irrationnel. Pour $n \ge 1$, posons $$ s_n := s_n (\theta, \rho) = \big\lfloor n \theta + \rho \big\rfloor – \big\lfloor (n-1) \theta + \rho \big\rfloor $$ Alors, le mot infini $$ {\bf s}_{\theta, \rho} := s_1 s_2 s_3 \ldots $$ est le mot sturmien (inférieur) de pente $\theta$ et d’intercept $\rho$, écrit sur l’alphabet $\{0, 1\}$. Nous explicitons le développement en fraction continue du nombre réel $$ \xi_{b, \theta, \rho} = (b-1) \, \sum_{n \ge 1} \, {s_n (\theta, \rho) \over b^n}. $$ Cela nous permet d’obtenir une formule donnant son exposant d’irrationalité en fonction de $\theta$ et du développement d’Ostrowski de $\rho$ en base $\theta$. Nous étendons ainsi un résultat classique de Böhmer (1927) qui ne couvre que le cas où $\rho = \theta$ et contient par exemple la surprenante égalité $$ \sum_{j \ge 1} {1 \over 2^{\lfloor j \gamma \rfloor} } = [0; 1, 2, 2, 2^2, 2^3, 2^5, 2^8, 2^{13}, 2^{21}, \ldots ], \quad \gamma = {1 + \sqrt{5} \over 2}. $$ Il s’agit d’un travail en commun avec Michel Laurent.