Antoine Ducros

À tout nombre premier [latex]p[/latex], on associe un corps dit des nombres p-adiques. Nous expliquerons la construc- tion de ces corps, et certains de leurs nombreux intérêts arithmétiques, en insistant notamment sur leurs applications à l’étude de problèmes diophantiens (équations polynomiales à coefficients dans [latex]mathbf{Q}[/latex]).

Dans un second temps, nous parlerons de la géométrie sur un corps p-adique, qui est muni d’une métrique aux propriétés un peu étranges : tout triangle est isocèle, tout point d’une boule en est un centre…. Nous évoquerons différentes approches des « variétés analytiques p-adiques », depuis un joli résultat de Serre dans les années 50, qui fait avec les bizarreries signalée, jusqu’à la théorie de Berkovich, qui y remédie en rajoutant des points aux espaces étudiés pour «améliorer» leur topologie.