Nicolas Ressayre

Que peut-on dire du spectre de la somme de 2 matrices hermitiennes connaissant uniquement les spectres des 2 termes ? Bien que l’histoire de cette question élémentaire commence avec H. Weyl en 1912, elle n’a été résolue que très récemment. Un ingrédient essentiel dans cette résolution est une interprétation en terme de représentations ou d’action de groupes algébriques.

Soit [latex]G[/latex] un groupe complexe réductif (e.g. [latex]mathbf{C}^∗, SL_n(mathbf{C}), SO_n(mathbf{C})[/latex]). Soit [latex]H[/latex] un sous-groupe réductif de [latex]G[/latex]. Une représentation irréductible [latex]V[/latex] de [latex]G[/latex] est une représentation de [latex]H[/latex] qui n’est plus nécessairement irréductible. On se demande alors quels sont les sous-[latex]H[/latex]-modules irréductibles de [latex]V[/latex]. Nous présenterons quelques développements récents autour de cette question et en particulier ses liens avec celle concernant les matrices hermitiennes.