Problème de Cousin pour les surfaces de Riemann

Le but de cet exposé est de présenter le problème de Cousin (additif) pour les surfaces de Riemann. Le théorème de Mittag-Leffler garantit l’existence de fonctions méromorphes sur un ouvert du plan complexe ayant des parties polaires prescrites. Le problème de Cousin peut être vu comme la généralisation du théorème de Mittag-Leffler aux surfaces de Riemann, c’est à dire aux variétés complexes de dimension 1.

Bien que ce problème soit antérieur à la théorie des faisceaux, cette dernière permet d’énoncer de manière naturelle le problème et de déterminer l’existence (ou non) de solutions.

Cet exposé ne suppose aucun prérequis en géométrie complexe, je présenterai de manière aussi élémentaire que possible la théorie des surfaces de Riemann et les notions nécessaires de théorie des faisceaux et de leur cohomologie.