The standard approach for photoacoustic imaging with variable speed of sound is time reversal, which consists of solving a well-posed final-boundary value problem for the wave equation backwards in time. We present a gradient based approach which consists of the iterative Landweber regularization algorithm, where convergence is guaranteed by standard regularization theory, notably also in cases of trapping sound speed or for short measurement times.
We formulate and solve the direct and inverse problem on the whole Euclidean space, which is common in standard photoacoustic imaging, but not for time reversal algorithms, where the problems are considered on a domain enclosed by the measurement devices. We formulate both the direct and adjoint photoacoustic operator as the solution of an interior and an exterior differential equation which are coupled by transmission conditions. The former is solved numerically using a Galerkin scheme in space and finite difference discretization in time, while the latter consists of solving a boundary integral equation. We therefore use a boundary element method/finite element method approach for numerical solution of the forward operators.
We analyze this method, prove convergence, and provide numerical tests. Moreover, we compare the approach to time reversal.

We consider the Dirichlet Laplacian in a two-dimensional strip composed of segments translated along a straight line with respect to a rotation angle with velocity diverging at infinity. We show that this model exhibits a “raise of dimension” at infinity leading to an essential spectrum determined by an asymptotic three-dimensional tube of annular cross section. If the cross section of the asymptotic tube is a disc, we also prove the existence of discrete eigenvalues below the essential spectrum. Joint work with David Krejcirik (Prague).

Le but de ce travail est de montrer la contrôlabilité à zéro d’un système modélisant l’interaction entre un fluide incompressible et une structure solide en utilisant un contrôle distribué localement situé dans le domaine du fluide. Le fluide est modélisé par le système de Navier-Stokes avec les conditions de Navier sur le bord, tandis que le corps rigide est gouverné par les lois de Newton. Le résultat principal montre qu’on peut amener les vitesses du fluide et de la structure à zéro et qu’on peut contrôler exactement la position du solide qui est supposé être assez régulier et de forme géométrique quelconque. Le point clé consiste à l’élaboration d’une nouvelle inégalité de Carleman pour le système linéarisé associé à notre problème couplant les équations de Stokes et des équations différentielles ordinaires avec les conditions de Navier sur le bord.

Nous appliquons une méthode de commutateurs à l’opérateur de Schrödinger discret sur . Nous proposons un nouvel opérateur conjugué qui nous permet de prouver la présence de spectre purement absolument continue à certains niveaux d’énergie. Nous imposons aux potentiels une décroissance de type longue portée plus générale que dans le traitement classique. Typiquement, on suppose une décroissance sur où κ>1 et τ_j est une translation dans la direction j. Le cas classique correspond à κ=1.

Travail réalisé en collaboration avec Marc-Adrien Mandich

On s’intéresse aux équations paraboliques linéaires, donc aux équations de la forme

(avec une condition initiale).

Nous nous intéressons principalement à l’obtention d’approximations de sa solution fondamentale K_t(x, y). Les approximations de la solution fondamentale ont une longue histoire en mathématiques et dans d’autres domaines, sous le nom d’approximation WKB (en théorie quantique) ou approximations du noyau de la chaleur.

L’asymptotique du noyau de la chaleur en termes de la géométrie a conduit à une démonstration célèbre du théorème de l’indice local et, plus récemment, dans les travaux de Pierre-Henry Labordère, à des applications souvent utilisées en finance. Si les coefficients sont suffisamment bornés (y compris leurs dérivées), j’expliquerai une méthode différente pour obtenir des développements en série perturbative qui conduit à des calculs très explicites des coefficients du développement asymptotique.

Cette méthode combine la formule de Duhamel/séries perturbatives de Dyson habituelles avec des calculs explicites inspirés des calculs des groupes de Lie nilpotents. J’expliquerai comment ces calculs peuvent ensuite être utilisés pour obtenir des approximations de la solution u de l’équation parabolique et je montrerai quelques tests numériques. J’espère que cette méthode pourra être étendue à de nombreux autres types d’équations (quelques résultats récents sur Navier-Stokes sur la sphère nous donnent plus de raisons d’espérer).

Ces techniques peuvent être combinées avec d’autres techniques (dans les EDP, dans l’analyse numérique ou dans d’autres domaines) et, en principe, pourraient fonctionner pour d’autres équations d’évolution. Dans le premier exposé, Nabil Kazi-Tani expliquera également très brièvement comment des équations paraboliques de ce type découlent de processus stochastiques.

On s’intéresse aux équations paraboliques linéaires, donc aux équations de la forme

(avec une condition initiale).

Nous nous intéressons principalement à l’obtention d’approximations de sa solution fondamentale K_t(x, y). Les approximations de la solution fondamentale ont une longue histoire en mathématiques et dans d’autres domaines, sous le nom d’approximation WKB (en théorie quantique) ou approximations du noyau de la chaleur.

L’asymptotique du noyau de la chaleur en termes de la géométrie a conduit à une démonstration célèbre du théorème de l’indice local et, plus récemment, dans les travaux de Pierre-Henry Labordère, à des applications souvent utilisées en finance. Si les coefficients sont suffisamment bornés (y compris leurs dérivées), j’expliquerai une méthode différente pour obtenir des développements en série perturbative qui conduit à des calculs très explicites des coefficients du développement asymptotique.

Cette méthode combine la formule de Duhamel/séries perturbatives de Dyson habituelles avec des calculs explicites inspirés des calculs des groupes de Lie nilpotents. J’expliquerai comment ces calculs peuvent ensuite être utilisés pour obtenir des approximations de la solution u de l’équation parabolique et je montrerai quelques tests numériques. J’espère que cette méthode pourra être étendue à de nombreux autres types d’équations (quelques résultats récents sur Navier-Stokes sur la sphère nous donnent plus de raisons d’espérer).

Ces techniques peuvent être combinées avec d’autres techniques (dans les EDP, dans l’analyse numérique ou dans d’autres domaines) et, en principe, pourraient fonctionner pour d’autres équations d’évolution. Dans le premier exposé, Nabil Kazi-Tani expliquera également très brièvement comment des équations paraboliques de ce type découlent de processus stochastiques.

The aim of this talk is to study a stochastic Schrödinger equation with a quadratic nonlinearity and a space-time fractional perturbation, in space dimension $dleq3$. When the Hurst index is large enough, we will prove local well-posedness of the problem using classical arguments. I will briefly talk about the case where we deal with a small Hurst index since even the interpretation of the equation needs some care. A renormalization procedure must come into the picture, leading to a Wick-type interpretation of the model. Our fixed-point argument then involves some specific regularization properties of the Schrödinger group, which allows us to cope with the strong irregularity of the solution. This is a joint work with Aurélien Deya and Laurent Thomann.

We consider a nonlinear reaction–diffusion equation in a domain consisting of two bulk regions connected via small channels periodically distributed within a thin layer. The height and the thickness of the channels are of order $epsilon$, and the equation inside the layer depends on the parameter $epsilon$. We consider the critical scaling of the diffusion coefficients in the channels and nonlinear Neumann-boundary condition on the channels’ lateral boundaries. We derive effective models in the limit $epsilonto0$, when the channel-domain is replaced by an interface $Sigma$ between the two bulk-domains. Due to the critical size of the diffusion coefficients, we obtain jumps for the solution and its normal fluxes across $Sigma$, involving the solutions of local cell problems on the reference channel in every point of the interface $Sigma$. This is a joint work with Markus Gahn (University of Heidelberg)

Cet expose sera une introduction aux quelques résultats basiques pour les équations aux dérivées partielles sur domaine polyédrique. Par exemple, il est bien connu due aux travaux de Costabel, Dauge, Kondratiev, Mazya, Nicaise et d’autres que les solutions des équations elliptiques sur domaines non lisses souffrent d’une « perte de régularité. » Une question naturelle est qu’est-ce qu’on peut faire pour soulager ce problème, qui cause des ennuis pour les méthodes numériques. Les résultats que je vais exposer aident à  résoudre certains aspects de ce problème. L’exposé sera assez informel et basique.

Dans ce travail, on s’intéresse à  des configurations optimales de ressources (typiquement des denrées alimentaires) nécessaires à  la survie d’une espèce, dans un espace fermé. A cette fin, nous utilisons un modèle dit logistique pour décrire l’évolution de la densité d’individus constituant cette population. Cette équation fait intervenir une fonction représentant la répartition hétérogène (en espace) des ressources. La question principale traitée dans cet exposé peut se formuler ainsi : comment répartir de façon optimale des ressources dans un habitat ? Cette question peut se reformuler comme un problème de contrôle optimal ou d’optimisation de forme, dans lequel on cherche à  optimiser un critère mettant en jeu la valeur propre principale d’un opérateur par rapport au domaine occupé par les ressources ou encore une fonction de la densité de population dépendant implicitement d’un terme de ressources. Nous présenterons dans cet exposé de nouveaux résultats complétant une analyse ancienne de ces problèmes, ainsi que de nombreuses propriétés qualitatives.

We are used to self-adjoint Schrödinger operators with real potentials. In my talk I will try to convince you that the theory of 1 dimensional Schrödinger operators with complex potentials is very similar to the real case. For instance, the theory of their boundary value problem, formulas for their resolvents, etc. are essentially the same. The proofs are, however, often more difficult and one has to change the basic philosophy. For example, the concept of the self-adjointness should be replaced by the self-transposedness (called also the J-self-adjointness).

L’imagerie par résonance magnétique (IRM) est une technique d’imagerie médicale non-invasive et non-ionisante. L’examen IRM comporte plusieurs séquences d’acquisition, avec différents paramètres permettant de varier le contraste entre les tissus, et les données images sont acquises séquentiellement dans l’espace de Fourier. Lors du choix des paramètres, un compromis doit être choisi entre la résolution spatiale/temporelle des images, le rapport signal sur bruit, le type de contraste désiré et le temps d’acquisition. En imagerie thoracique et abdominale, les mouvements du patient (notamment cardio-respiratoires) imposent des contraintes additionnelles car ils peuvent dégrader la qualité des images (flous, artéfacts de type « fantômes ») et donc l’analyse, la quantification, et le diagnostic. Dans cet exposé nous présenterons quelques techniques de reconstruction des images permettant de lever certaines des limites rencontrées actuellement en imagerie clinique : la reconstruction conjointe de l’image et du mouvement du patient, la reconstruction super-résolution, ainsi que les algorithmes d’optimisation et techniques de régularisation associées.

Résumé

Nous étudions un système modélisant la dynamique d’une structure élastique immergée dans un fluide visqueux incompressible. Le mouvement du fluide est modélisé par les équations de Navier-Stokes et les déplacements élastiques suivent l’équation d’élasticité linéaire. Nous obtenons l’existence de solutions régulières locales en temps pour ce système.

Dans cet exposé, nous présenterons les schémas de bi-projection récemment développés pour la discrétisation en temps des équations de Navier-Stokes incompressibles isothermes avec une rhéologie visco-plastique (Bingham, Drucker-Prager). La difficulté principale, tant du point de vue de l’analyse mathématique que de l’approximation numérique, est due à  la non-différentiabilité de la partie plastique du tenseur des contraintes dans les régions de l’espace o๠le tenseur des déformations est nul. Une formulation basée sur une réécriture de la définition de la partie plastique du tenseur en terme d’une projection est utilisée. Un nouveau schéma de semi-discrétisation en temps, basé sur un schéma de projection incrémental classique pour les équations de Navier-Stokes dans le cas des fluides newtoniens, est proposé. Le tenseur plastique est traité en implicite dans l’étape de prédiction du schéma de projection et un algorithme de point fixe est utilisé pour son évaluation. Un terme de pseudo-relaxation temporel est ajouté dans la projection de Bingham afin d’assurer une convergence rapide (géométrique) du point fixe. Des analyses de stabilité et d’erreurs du schéma numérique ont été obtenues dans un premier travail dans le cas d’écoulements homogènes puis étendues au cas d’écoulements à  densité, viscosité et seuil de plasticité variables. Des résultats numériques d’écoulements dans une cavité entraînée 2D ainsi que d’instabilités de Rayleigh-Taylor seront présentés afin de montrer l’efficacité de la méthode de bi-projection. Enfin, des applications à  des écoulements géophysiques seront discutées.

Le résumé se trouve ici

Reaction-diffusion processes occur in many materials with microstructure such as biological cells, steel or concrete. The main difficulty in modelling and simulating accurately such processes is to account for the fine microstructure of the material. One method of upscaling multiscale problems, which has proven reliable for obtaining feasible macroscopic models rigorously, is the method of periodic homogenisation. The correct scaling of certain terms of the system with powers of the homogenisation parameter is an aspect particularly relevant in this context. The scaling arises from geometrical considerations or from the processes themselves. Depending on the particular choice of these scaling powers, different limit behaviours are obtained leading to different systems of equations in the homogenisation limit. This will first be discussed in the context of a reaction-diffusion system given in a two-component medium coupled by a Robin condition at the internal interface. The analogous vector-valued problem models two elastic materials coupled by a slip-displacement condition, which will be the focus of the second part of the talk.

L’objectif de cet exposé est de présenter des questions ouvertes en théorie du contrôle, et plus spécifiquement des questions de contrôlabilité en temps arbitrairement petit d’équations aux dérivées partielles non linéaires. Nous ferons un survol des récents résultats obtenus avec la méthode du retour pour l’équation de Navier-Stokes et expliquerons les difficultés liées à  l’application de cette méthode à  d’autres EDP non linéaires. Nous introduirons ensuite le concept d’intégrabilité de systèmes dynamiques (EDO ou EDP) et nous présenterons une application à  la contrôlabilité

Résumé

We study Sobolev estimates for the solutions of parabolic equations acting on a vector bundle, in a complete, compact or non compact, riemannian manifold $M$. The idea is to introduce geometric weights on $M$. We get global Sobolev estimates with these weights. As applications, we find and improve « classical results », i.e. results without weights, by use of a Theorem by Hebey and Herzlich. As an example we get Sobolev estimates for the solutions of the heat equation on $p$-forms when the manifold has « weak bounded geometry  » of order $1$.