On considère des matériaux électromagnétiques qui sont tels que, dans une certaine gamme de fréquences, la permittivité diélectrique a une partie imaginaire faible et une partie réelle négative. Ceci se produit par exemple dans les métaux tels que l’argent, aux fréquences optiques. Pour de tels matériaux, les coins sont le lieu de phénomènes singuliers très surprenants. En particulier, une partie de l’énergie des ondes peut être capturée par le coin, donnant lieu à un phénomène dit de trou noir. Dans cette présentation, nous proposons une analyse mathématique de ce phénomène dans le cas bidimensionnel, reposant sur une description détaillée des singularités de coins pour l’équation de Helmholtz avec des coefficients changeant de signe. Nous montrons que ces équations peuvent être mal posées dans le cadre fonctionnel usuel, puis nous proposons et justifions un nouveau cadre, incluant des fonctions singulières hyper-oscillantes, dans lequel le caractère bien posé peut être rétabli. Sur le plan numérique, nous nous intéressons à l’approximation de la solution par éléments finis. Dans les configurations sans phénomène de trou noir, nous montrons qu’il suffit d’imposer certaines règles de maillage au voisinage des coins pour assurer la convergence de la méthode. En revanche, ceci n’est pas suffisant en présence d’ondes de trou noir hyper-oscillantes. La solution que nous avons trouvée est alors d’utiliser des PML (Perfectly Matched Layers) au voisinage des coins. Ces approches sont validées par différents résultats numériques.

On s’intéresse à la question de prolongement unique suivante : l’observation de l’intensité d’une onde sur un petit sous-domaine pendant un intervalle de temps détermine t-elle l’énergie totale de l’onde ? Résolu dans un cadre analytique par le célèbre théorème de Holmgren-John (1949), ce problème resta ouvert dans le cadre général jusqu’aux travaux de Tataru-Robbiano-Zuily-Hörmander (1995-1998). Dans cet exposé, on donnera l’estimée de stabilité optimale associée à ces résultats. Ce faisant, on répondra aussi à la question suivante : quelle est l’intensité de l’onde que l’on perçoit dans l’ombre d’un obstacle ? On en déduira enfin le coût de la contrôlabilité approchée de l’équation des ondes, c’est à dire, la taille d’un contrôle qui, agissant localement sur l’onde, peut amener l’état dans un epsilon voisinage d’une cible fixée. Il s’agit un travail en collaboration avec Camille Laurent.

Dans cet exposé, nous étudierons une classe de systèmes d’équations de Schrödinger couplées dans $R^n$ tout entier. Je discuterai une notion de solutions d’énergie finie pour ces systèmes et je présenterai des résultats d’estimation a priori et de symétrie sur ces solutions.

This talk deals with the control and regulation by integral controllers for the nonlinear systems governed by scalar quasi-linear hyperbolic partial differential equations. Both the control input and the measured output are located on the boundary. The closed-loop stabilization of the linearized model with the designed integral controller is proved first by using the method of spectral analysis and then by the Lyapunov direct method. Based on the elaborated Lyapunov function we prove local exponential stability of the nonlinear closed-loop system with the same controller. The output regulation to the set-point with zero static error by the integral controller is shown upon the nonlinear system.

Le problème de la restauration/complétion d’images (images inpainting) est un problème classique d’analyse et traitement d’images. Il consiste à Â  chercher à Â  restaurer une image dont une partie est endommagée ou perdue de manière « raisonnable » et « satisfaisante ». Il existe une multitude de méhodes pour répondre au problème, parmi lesquelles, les méthodes variationnelles des EDPs qui ont rencontré un franc succès essentiellement dans la restauration de la géométrie (par opposition aux textures). Une difficulté centrale dans ce domaine et de restaurer des arêtes, des coins (ensembles singuliers) et de respecter les courbures. Difficulté qui ne peut s’exprimer qu’à  l’aide de modèles (fortement) nonlinéaires. L’exposé traitera de ces méthodes basées sur les EDPs et montrera que des modèles simples (linéaires) construits de manière adaptative permettent de traiter cette difficulté et d’obtenir, au sens de la Gamma-convergence, des modèles sophistiqués « mesurant » ces ensembles singuliers.

L’équation d’Euler à surface libre régit la dynamique de l’interface séparant l’air d’un fluide parfait incompressible. Cet exposé concerne l’étude de la contrôlabilité et de la stabilisation de cette équation. Le but est de comprendre la génération ainsi que l’amortissement des vagues dans un bassin à houle. Ces deux probl èmes seront abordés par des méthodes différentes : analyse microlocale pour la contrôlabilité, et étude de quantités globales pour la stabilisation (méthode des multiplicateurs, identité de Pohozaev, formulations hamiltonienne et lagrangienne des équations, lois de conservation, etc.).

Dans la première partie de l’exposé, je présenterai différents problèmes inverses auxquels je me suis intéressé ces dernières années et les contextes applicatifs associés : reconstruction d’images en tomographie, analyse d’images biologiques et d’images hyperspectrales en microscopie, problèmes d’inversion de données en spectroscopie optique avec applications biomédicales. Lorsque les données disponibles sont en nombre limité et partiellement informatives sur la quantité à estimer (problèmes inverses mal posés), la prise en compte d’informations a priori sur les inconnues est indispensable, et s’effectue par le biais des techniques de régularisation. Dans la seconde partie de l’exposé, je présenterai plus particulièrement la régularisation parcimonieuse de problèmes inverses, basée sur la minimisation de la « norme » l0. Les algorithmes heuristiques proposés sont conçus pour minimiser des critères mixtes L2-L0 du type $$min_x J(x;lambda) = || y – Ax ||_2^2 + lambda || x ||_0.$$ Ce problème d’optimisation est connu pour être fortement non-convexe et NP-difficile. Les heuristiques proposées (appelées algorithmes « gloutons ») sont définies en tant qu’extensions d’Orthogonal Least Squares (OLS). Leur développement est motivé par le très bon comportement empirique d’OLS et de ses versions dérivées lorsque la matrice A est mal conditionnée. Je présenterai deux types d’algorithmes pour minimiser $J(x;lambda)$ à $lambda$ fixé et pour un continuum de valeurs de $lambda$. Finalement, je présenterai quelques résultats théoriques visant à garantir que les algorithmes gloutons permettent de reconstruire exactement le support d’une représentation parcimonieuse $y = Ax^*$, c’est-à-dire le support du vecteur $x^*$.

Dans ce travail, nous étudions un problàƒÂ¨me de collision entre un solide rigide immergé et la paroi de la cavité dans laquelle il se trouve. Nous sommes amenés àƒÂ  considérer le comportement asymptotique de la solution d’un problàƒÂ¨me de Neumann (et de l’énergie de Dirichlet associée) lorsque le domaine devient singulier (apparition d’un point de rebroussement). Conformément àƒÂ  l’intuition que l’on peut avoir, le comportement diffàƒÂ¨re suivant le profil du solide (plus ou moins « aplati » au niveau du point de contact).

Résumé à  préciser

Dans cet exposé je vous présenterai des résultats récents, en collaboration avec G. Dal Maso, concernant un problème de propagation dynamique de fractures. Dans le cas anti-plan, lorsque la fissure croît sur une variété prescrite et régulière, on démontre existence, unicité, et dépendance continue par rapport aux données de la fonction déplacement.

Dans cet exposé je présenterai un modèle de dynamique des populations piloté par capacité biotique. La capacité biotique $f=rho-m$, qui est essentiellement la différence entre la densité d’espèce $rho(t,x)$ et la quantitié de ressources disponibles $m(x)$, intervient comme un terme de reproduction logistique, mais affecte également la dispersion de l’espèce qui se déplace vers l’environnement le plus favorable possible ($f>0$). Le modèle a été introduit et étudié mathématiquement par [Cosner et Winkler], et consiste en un problème parabolique dégénéré. Dans une série de travaux récents, nous avons montré avec S. Kondratyev et D. Vorotnikov (Univ. Coimbra, Portugal) que le modèle peut s’écrire comme un flot gradient dans l’espace des mesures, muni d’une nouvelle distance de transport optimal non conservatif. Ce point de vue revisité permet d’établir un nouveau résultat de convergence en temps long, dont la preuve est basée sur des techniques d’entropie/dissipation-entropie particulièrement adaptées au cadre variationnel et en lien avec une nouvelle famille d’inégalités fonctionnelles. Si le temps le permet je présenterai une extension au cas vectoriel.

En théorie des champs relativiste, un problème essentiel est de séparer les solutions de l’équation de Klein-Gordon en celles qui propagent avec fréquences positives et celles a fréquences négatives, dans le sens précis d’une condition sur leur front d’onde. Sur des espace-temps asymptotiquement statiques, il existe une construction bien connue (par théorie de diffusion) qui donne une décomposition canonique, mais jusqu’à  présent le problème de vérifier la condition sur le front d’onde, dite « de Hadamard », restait ouvert. Le but de cet expose seront des démontrer cette conjecture dans le cas à  longue portée en utilisant un mélange de théorie de diffusion et de calcul pseudo-différentiel. Je vais aussi expliquer comment dans ce cadre est-il possible de définir des conditions asymptotiques pour lesquelles l’opérateur de Klein-Gordon devient un opérateur de Fredholm vérifiant des propriétés étonnamment similaires au cas elliptique (travail en collaboration avec Christian Gérard).

Durant ce séminaire nous considérerons une famille d’opérateurs de Schrödinger étant formellement homogènes sous le groupe des dilatations. Une fois mieux définis la majorité de ces opérateurs perdent cette propriété. Nous étudierons alors les propriétés spectrales de ces opérateurs, qui ne sont généralement pas auto-adjoints et proposerons certaines formules pour la théorie de la diffusion. Cette étude est intimement liée aux fonctions de Bessel, et certaines de leurs relations peuvent être réinterprétées dans le cadre de l’étude de ces opérateurs.

Résumé

We investigate the existence of solutions to a nonlinear elliptic problem involving the critical Sobolev exponent for a Polyharmomic operator on a Riemannian manifold   M. We first show that the best constant of the Sobolev embedding on a manifold can be chosen as close as one wants to the Euclidean one, and as a consequence derive the existence of minimizers when the energy functional goes below a quantified threshold. Next, higher energy solutions are obtained by Coron’s topological method, provided that the minimizing solution does not exist and the manifold satisfies a certain topological assumption. To perform the topological argument, we obtain a decomposition of Palais-Smale sequences as a sum of bubbles and adapt Lions’s concentration-compactness lemma.

In this talk we discuss a viscoelastic equation with a non increasing function. We first give an account of the existing results and then establish a new general decay rate for the solution energy of the problem under a more general condition on the relaxation function. This work answers some questions raised in the literature and generalizes and improves earlier results.

On éudie la localisation et l’existence des valeurs propres (v. p.) du générateur d’un semi-groupe de contraction associé aux problèmes à  bord dissipatifs pour l’équation des ondes et le système de Maxwell. Le spectre du générateur dans le demi-plan gauche est formé par des v. p. isolées de multiplicité finie et les solutions associées ont une énergie globale exponentiellement décroissante. La localisation des v. p. est importante pour les applications et les problèmes inverses de diffusion. On prouve que les v. p. sont localisées dans des voisinages paraboliques de l’axe réel ou de l’axe imaginaire. Pour des obstacles strictement convexes on obtient des résultats plus précis. Finalement pour la balle on établit l’existence d’un nombre infini de v. p. réelles négatives.

Résumé