Conséquences du Frobenius splitting, notamment l’annulation de la cohomologie supérieure de tout fibré ample.

La soutenance de Miguel Acosta ayant lieu à  Paris, il nous fera un exposé à  Nancy la semaine précédente.

Dans un travail récent Höring et Peternell ont complété la preuve de la décomposition de Bogomolov dans le cadre singulier, à  savoir toute variété projective normale lisse en codimension 2 ayant singularités canoniques et fibré canonique trivial admet un recouvrement quasi-étale qui est produit de tores complexes, de variétés de Calabi-Yau et de variétés irréductibles symplectiques. Ces dernières sont l’analogue singulier des variétés hyper-kähler et en ont pas mal de propriéétés. Dans un travail en collaboration avec A. Rapagnetta nous démontrons que tous les espaces de modules de faisceaux semistables (par rapport à  une polarisation générique) sur une surface K3 projetive sont des variétés irréductibles symplectiques, à  l’exception des produits symétriques de surfaces K3. De plus nous décrivons leur second groupe de cohomologie entière, ainsi que leur forme de Beauville et leur constante de Fujiki.