Conséquences du Frobenius splitting, notamment l’annulation de la cohomologie supérieure de tout fibré ample.

La soutenance de Miguel Acosta ayant lieu à  Paris, il nous fera un exposé à  Nancy la semaine précédente.

Dans un travail récent Höring et Peternell ont complété la preuve de la décomposition de Bogomolov dans le cadre singulier, à  savoir toute variété projective normale lisse en codimension 2 ayant singularités canoniques et fibré canonique trivial admet un recouvrement quasi-étale qui est produit de tores complexes, de variétés de Calabi-Yau et de variétés irréductibles symplectiques. Ces dernières sont l’analogue singulier des variétés hyper-kähler et en ont pas mal de propriéétés. Dans un travail en collaboration avec A. Rapagnetta nous démontrons que tous les espaces de modules de faisceaux semistables (par rapport à  une polarisation générique) sur une surface K3 projetive sont des variétés irréductibles symplectiques, à  l’exception des produits symétriques de surfaces K3. De plus nous décrivons leur second groupe de cohomologie entière, ainsi que leur forme de Beauville et leur constante de Fujiki.

Cet exposé est la suite de celui du 1er février.

On décrira la cohomologie d’intersection avec le point de vue du complexe de faisceaux d’intersection. Ceci permet de comprendre pourquoi la cohomologie d’intersection ne dépend pas de la filtration de Whitney choisie et est un invariant topologique.