L’étude des actions par homéomorphismes de réseaux de groupes de Lie sur le cercle donne des résultats de rigidité en rang supérieur à  2. Ces résultats de rigidité suggèrent que, plus généralement, ce pourrait être une conséquence de la Propriété (T) qui est une propriété de rigidité pour les représentations unitaires de groupes.

Le groupe de tous les homéomorphismes du cercle est un groupe qui est naturellement muni de la topologie de la convergence uniforme. Nous verrons qu’il existe des sous-groupes fermés qui possèdent la propriété (T), ont de nombreuses représentations unitaires et agissent sur le cercle de manière non élémentaire. Ces constructions utiliseront un petit peu d’analyse/dynamique complexe, des dendrites et des kaléidoscopes !

L’exposé portera sur un travail avec Julius Ross. On sait que les puissances des classes amples sur les variétés projectives complexes ont les propriétés de Lefschetz difficile et de Hodge-Riemann. On montrera que les classes de Schur des fibrés vectoriels amples ont également ces propriétés et on en déduira des inégalités de type Khovanskii-Teissier pour les classes caractéristiques des fibrés vectoriels amples. Notre résultat nous permet en plus de donner une réponse négative à  une question de Debarre, Ein, Lazarsfeld et Voisin sur les cônes de cycles positifs en dimension et codimension supérieures à  1. Finalement on discutera quelques conjectures en relation avec notre résultat principal.

à€ une variété projective complexe on peut attacher de nombreux invariants : groupe fondamental, groupes de cohomologie singulière (en particulier, nombres de Betti, caractéristique d’Euler), structures de Hodge et en particulier nombres de Hodge, nombres et classes de Chern, etc.

Un « problème de construction » consiste à  essayer de produire des variétés avec certains invariants fixés à  l’avance. C’est en général très difficile et souvent ouvert.

On discutera de résultats récents de Schreieder et Paulsen-Schreieder qui expliquent comment construire des variétés projectives ayant des nombres de Hodge donnés (éventuellement modulo un entier m).

La première moitié de l’exposé sera complètement élémentaire, on rappelera la définition des nombres de Hodge, différentes méthodes de calcul, propriétés et applications, avec des exemples.