Coarse geometry, K-théorie et paires de Hecke

Introduites par Shimura dans les années 50, les paires de Hecke sont des inclusions de sous-groupes qui sont presque normales en un certains sens. Bien qu’elles soient plutôt reliées à des problèmes de théorie des nombres, ces paires sont devenues d’importance en algèbre d’opérateurs après les travaux de Bost-Connes, et leur construction d’un C*-système dynamique dont la fonction de partition est la fonction zêta.

A une paire de Hecke est associée un groupe localement compact totalement discontinu, et un sous groupe compact ouvert. C’est sa complétion de Schlichting, déjà utilisée par Tzanev pour construire des facteurs de type III.

Nous donnons une interprétation géométrique aux paires de Hecke, et étudions la K-théorie de la C*-algèbre de Roe associée grâce à la complétion de Schlichting. Cela permet de prouver divers résultats de stabilité pour les conjectures de Baum-Connes et de Novikov. On répondra aussi à une question de Tzanev (2000) : les paires de Hecke moyennables satisfont la conjecture de Baum-Connes énoncée dans sa thèse.