Ô mon beau commutateur !

Date/heure
24 avril 2024
10:00 - 11:00

Lieu
Salle de séminaires Metz

Oratrice ou orateur
Nathan Couchet

Catégorie d'évènement
Doctorants

Cet exposé discute de quelques résultats originaux qui ne sont généralement pas enseignés dans un cursus classique du Supérieur en Mathématiques. Il s’agit en effet du lemme de Wielandt (1949), du théorème de Kleinecke-Shirokov (1957-1956) et du théorème de Fulglede-Putnam-Rosenblum (1950-1951-1958). Provenant historiquement de la théorie des algèbres d’opérateurs, il est en fait naturel de les traduire dans le langage des algèbres de Banach dont leur père, le mathématicien soviétique I. M. Gelfand, a démontré entre 1939 et 1941 la complémentarité singulière qui s’exprime entre algèbre et analyse.

C’est cette complémentarité qui est réaffirmée ici. Ces résultats gravitent tous autour de la notion de (non)-commutativité qui est le cœur de la mécanique quantique et de la théorie des opérateurs. Plusieurs démonstrations du théorème de Wielandt sont proposées dont l’une avec l’aide du théorème de Kleinecke-Shirokov. Les résultats ci-dessus sont mis en lumière par quelques réflexions dans l’algèbre ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ des matrices carrées et par des questions personnelles sur les propriétés d’un couple $(a,b)$ d’éléments dans certaines $\mathbb{C}$-algèbres contraint à satisfaire une relation du type $[a,b]=\alpha a,\alpha \in {\mathbb{C}}^{\ast }$. L’exposé est enrichi de remarques historiques et contextuelles sur la théorie des algèbres de Banach et des opérateurs.