Feuilletages de Calabi-Yau et déformations

En théorie des déformations, il est d’usage de chercher à construire, pour un objet géométrique donné, une famille représentant toutes ses petites déformations et ce de la manière la plus économique. Kodaira et Spencer, ayant développé la théorie des déformations de diverses structures géométriques, ont par exemple obtenu, pour toute variété complexe compacte $X$ telle que $H^2(X,TX)=0$, l’existence d’une telle famille paramétrée par un espace analytique régulier (une variété complexe). Kuranishi, parvient lui à démontrer pour toute variété complexe compacte, l’existence d’une telle famille, cette fois paramétrée par un espace analytique a priori singulier. Ce résultat motive l’étude de la régularité de l’espace de paramètre. Le théorème de Bogomolov-Tian-Todorov permet d’exhiber une classe particulière de variétés complexes compactes admettant une famille de déformation comme précédemment paramétrée par un espace analytique régulier : les variétés de Calabi-Yau.

Je présenterai au cours de mon exposé comment la théorie des déformations des variétés complexes s’adapte aux feuilletages holomorphes réguliers. J’introduirai ensuite une notion particulière de feuilletages holomorphes, inspirée de la propriété de Calabi-Yau des variétés complexes, pour obtenir un résultat du type Bogomolov-Tian-Todorov pour les feuilletages de Calabi-Yau.