H. Blaine Lawson

Un flot de volume fini est un flot φt sur une variété X pour lequelle le “graph” est un courant de masse finie dans X × X. On demontre que pour une tel flot la limite P(ω) ≡ limφ∗tω t→∞ existe pour chaque forme différencielle lisse ω sur X. De plus il y a un operateur T de degree -1 tel que l’equation d◦T+T◦d = I−P se tient sur X. Or parmi les flots de volume fini sont les flots génériques de type gradient et tous les flots analytiques réelles.

On retrouve tout de suite la théorie de Morse complète. En fait dans ce cas on demontre que l’operateur P est une projection du complexe de deRham sur le complexe fini engendré par les sourvariétés stables des points critiques de la fonction de Morse. L’homotopie chaîne au dessu donne une isomorphisme de cohomologie. On peut passer aux chaînes integrales et á la cohomologie á coefficients dans les entiers.

Pour une application lisse f : X → Y ou pour un morphism α : E → F de fibrés vectoriels, on peut construire un flot qui est génériquement de volume fini et qui donne les équations de courants fondamentales: telles que les équations de Poincaré-Lelong, les équations de Bott-Chern, et les formules de MacPherson pour les singularités de l’application α.