Emmanuel Hebey

Étant donnée une variété riemannienne compacte de dimension n ≥ 3, l’inégalité de Sobolev- Poincaré considérée fournit l’existence de deux constantes positives A et B, qui dépendent a priori de la variété, telles que pour toute fonction u, ∥u∥2⋆ ≤ A∥∇u∥2 + B∥u∥21 où 2⋆ = 2n/(n − 2) est l’exposant critique des plongements de Sobolev.

Cette inégalité raffine l’inégalité de Sobolev classique. Sa version “Poincaré” remonte à l’ouvrage de Courant et Hilbert datant de la fin des années 1930. Telle qu’écrite ci-dessus, elle remonte aux travaux de Nirenberg datant de la fin des années 1950.

On présentera dans cet exposé une étude complète de la version optimale de cette inégalité. On insistera en particulier sur les phénomènes géométriques et de petite dimension qui sont attachés à cette étude.