Michel Waldschmidt

Les méthodes de transcendance ont toutes leur fondement dans les travaux précurseurs de Charles Hermite en 1873, quand il a démontré la transcendance du nombre e. On connaissait alors depuis une trentaine d’années des exemples de nombres transcendants, grâce aux travaux de Joseph Liouville, mais ceux qu’il avait exhibés étaient artificiels, spécialement construits pour satisfaire des contraintes d’approximation diophantienne très strictes. La démonstration par Georg Cantor de l’existence de beaucoup de nombres transcendants était nettement moins explicite. Hermite est le premier à démontrer la transcendance d’une constante fondamentale de l’analyse. Sa démonstration allait être exploitée en 1881 par Ferdinand Lindemann, qui donnait ainsi la réponse définitive au problème de la quadrature du cercle.

Nous présentons quelques unes des idées du mémoire d’Hermite et nous montrons comment elles ont évolué depuis, permettant de résoudre un certain nombre de problèmes de transcendance – mais les questions ouvertes sont encore les plus nombreuses.