Par la formule de la signature de Hirzebruch et d’Atiyah, Patodi et Singer, l’invariant êta du bord totalement géodésique d’une variété orientée plate de dimension doit être un nombre entier. Nous démontrons un résultat similaire dans un contexte plus général: si est une variété Riemannienne compacte, localement conformément plate et à bord , alors l’invariant êta de doit être un entier, sans aucune condition sur le plongement de dans . Ce résultat fournit des obstructions à l’existence d’une métrique localement conformément plate sur prescrite le long de .
