Le cône de Horn pour le pléthysme et formules de multiplicativité

Étant donné un sous-groupe réductif H d’un groupe réductif G, les paires de représentations irréductibles W de H et V de G telles que W soit somme directe de la restriction de V comme H-module sont paramétrées par des paires de poids dominants pour H et G. Ils engendrent un cône polyhédral, appelé cône de Horn. Je rappellerai des résultats décrivant ce cône par des inéquations linéaires explicites. Lorsqu’on sait que la multiplicité est positive, une question naturelle consiste à tenter de la calculer.

Quand la paire (W,V) est sur une face de codimension 1 du cône de Horn, la multiplicité satisfait une propriété de récursivité : elle est égale à une multiplicité similaire, mais où G est remplacé par un de ses sous-groupes de Levi (dépendant de la face du cône). Dans un travail en commun avec Nicolas Ressayre, nous montrons une propriété plus compliquée de récursivité qui s’applique pour certaines faces du cône de Horn en codimension supérieure. Cette formule est montrée de manière géométrique en étudiant la ramification d’un morphisme génériquement fini naturellement défini par la face