Denis Serre

Même pour une équation différentielle ordinaire autonome dans [latex]R^n[/latex]

[latex]dy = f(y), y(0) = a,[/latex]

l’existence d’une solution [latex]y(t)[/latex] définie pour tout temps [latex]t > 0[/latex] n’est pas parfaitement comprise. La condition suffisante, dont on peut souvent se contenter, est qu’il existe un compact [latex]K[/latex], contenant [latex]a[/latex], positivement invariant pour [latex]f[/latex]. Si le bord de [latex]K[/latex] est une hypersurface régulière, il revient au même de dire que [latex]f[/latex] est un champ de vecteurs rentrant.

Pour certaines équations aux dérivées partielles (qu’on se rassure, les EDPs qui apparaîtront dans l’exposé se ramènent à des EDOs), on sait mettre en œuvre la même idée. Mais la présence de termes d’ordres distincts impose que [latex]K[/latex] soit positivement invariant à chaque ordre. Par exemple, K est positivement invariant pour l’équation de réaction-diffusion du = ∆u + f(u) si et seulement si il l’est à la fois pour l’équation de la chaleur du/dt = ∆u (on verra que ̧ca signifie K convexe) et pour l’EDO du = f(u). dt dt

Dans l’exposé, j’examinerai cette question de l’invariance pour un système appa- remment simple, qui pose cependant des questions non triviales de géométrie classique. Par exemple : quand est-ce que l’image par une application (pas linéaire, a priori) d’un convexe est convexe ?