Date/heure
16 novembre 2023
09:15 - 10:15
Lieu
Salle de conférences Nancy
Oratrice ou orateur
Rémi Peyre
Catégorie d'évènement Groupe de travail Probabilités et Statistique
Résumé
Cet exposé, bien que s’inscrivant dans la continuité de celui de la semaine dernière, devrait néanmoins pouvoir être suivi sans souci majeur même par ceux n’y ayant pas assisté.
La semaine dernière, nous avons motivé l’introduction d’une certaine distribution de probabilité P à valeurs dans les polytopes d-dimensionnels, distribution que nous avons introduite comme décrivant, en régime asymptotique, la forme des trous qui subsistent lorsqu’on procède à une « percolation booléenne » de très grand paramètre dans ℝd (ce qui consiste à jeter au hasard dans l’espace un très grand nombre de boules interpénétrables). Après avoir rappelé brièvement la description rigoureuse de P, cet exposé sera consacré à l’étude de ses propriétés.
La première question qui nous préoccupera consistera à simuler “directement” P : en effet, la définition que nous avons donnée la semaine dernière ne permettait pas de construire facilement la loi P, mais seulement la loi Q déduite de la précédente en la biaisant par le volume du polytope. Or il se trouve qu’il existe aussi un moyen de décrire P sans passer par une telle mesure biaisée : ce qui permet non seulement d’en faire des simulations, mais surtout de disposer d’une approche plus commode pour en étudier les propriétés ! Cela nous permettra notamment de déterminer le volume moyen des polytopes tirés selon P : quantité qui est directement liée à la densité des trous dans la percolation booléenne.
La question du nombre moyen d’hyperfaces des polytopes tirés selon P est quant à elle liée à l’« indice extrêmal » des cellules de Voronoï de grand circumrayon — je rappellerai ce que tout cela signifie. Je présenterai à ce sujet une idée nouvelle que j’ai eue il y a quelques mois, qui a permis de résoudre et de généraliser une conjecture émise par Pierre CALKA il y a une dizaine d’années : en dimension 2, le nombre moyen de côtés de notre polygone aléatoire vaut 4, et plus généralement en dimension d, le nombre d’hyperfaces du polytope vaut 2d 😀
Enfin, je présenterai quelques autres caractéristiques de la distribution P que je suis arrivé à calculer. Un phénomène remarquable semble se dessiner : pour toutes les valeurs de d et j où j’ai su mener les calculs à bien, le nombre moyen de j-faces du polytope aléatoire de dimension d se trouve être égal au nombre de j-faces du d-hypercube ! Je vous partage cette conjecture avec d’autant plus d’intérêt que je n’en ai pris conscience que le soir après mon premier exposé…! 😋