Je parlerai d’un travail en collaboration avec Nicolas Tholozan, dans lequel nous étudions une classe particulière de représentations du groupe fondamental des sphères épointées dans le groupe , que nous appelons supra-maximales. Bien qu’elles soient pour la plupart Zariski denses, nous montrons qu’elles sont totalement non-hyperboliques, au sens o๠l’image de toute courbe fermée simple est elliptique ou parabolique. Nous montrons aussi qu’elles sont géométrisables (hormis celles qui sont réductibles) en un sens très fort : pour tout élément de l’espace de Teichmà¼ller, il existe une unique application équivariante holomorphe à valeurs dans le demi-plan inférieur. Nous montrons également que les représentations supra-maximales forment des composantes compactes des variétés de caractère relatives. Muni de la structure symplectique de Atiyah-Bott-Goldman, ces composantes sont symplectomorphes à l’espace projectif complexe muni d’un multiple de la forme de Fubini-Study que nous calculons explicitement. Cela généralise un résultat de Benedetto-Goldman pour la sphère à quatre trous.
