Date/heure
24 mars 2022
10:45 - 11:45
Lieu
Salle de conférences Nancy
Oratrice ou orateur
Sébastien Martineau (LPSM, Paris)
Catégorie d'évènement Séminaire Probabilités et Statistique
Résumé
La percolation consiste à partir d’un graphe raisonnable G, d’un paramètre p dans [0,1] et à conserver chaque arête indépendamment avec probabilité p, effaçant toutes les autres. On s’intéresse alors aux composantes connexes du graphe ainsi formé (ces composantes sont appelées amas ou clusters). Par exemple, existe-t-il un cluster infini ?
Il existe un paramètre critique p_c, qui dépend du graphe, tel que :
– pour tout p < p_c, il n’y ait presque sûrement aucun cluster infini,
– pour tout p > p_c, il existe presque sûrement (au moins) un cluster infini.
Le régime sous-critique (p < p_c) est bien compris, et ce pour des graphes généraux. Le régime critique (p = p_c) est considérablement plus difficile : il fait l’objet de grands théorèmes et conjectures. C’est au régime restant, le surcritique (p > p_c), que sera dédié cet exposé. Ce régime est plus difficile que le sous-critique mais moins ardu que le régime critique.
Contrairement au régime sous-critique, le régime surcritique est, en un certain sens qu’on précisera, sensible à la géométrie du graphe de départ. Il est donc raisonnable de se restreindre à certaines classes de graphes définies par des hypothèses géométriques. On verra qu’en se restreignant aux graphes dits « à croissance polynomiale », il est possible d’obtenir une compréhension fine du régime surcritique. Cela permet de retrouver par des techniques nouvelles des résultats déjà connus sur le réseau cubique (Grimmett–Marstrand…), ainsi que de couvrir toute une gamme de graphes intéressants (discrétisations anisotropes de Z^d, graphes de Cayley de groupes nilpotents).
Cet exposé porte sur des travaux réalisés en collaboration avec Daniel Contreras et Vincent Tassion.