Date/heure
3 juin 2022
11:00 - 12:00
Oratrice ou orateur
Christophe Zhang
Catégorie d'évènement Séminaire EDP, Analyse et Applications (Metz)
Résumé
On s’intéresse à un problème de contrôle approché de l’équation de la chaleur par des « formes » : à l’aide d’un terme source donné par la fonction caractéristique d’un ensemble (variable dans le temps, de mesure uniformément bornée), on cherche à emmener la solution près d’un état final donné.
Ces contrôles très particuliers peuvent être vus comme des points extrémaux d’un certain ensemble convexe : or beaucoup de problèmes de contrôle optimal (et d’optimisation en général) ont pour minimiseurs (ou maximiseurs) des points extrémaux. Pour trouver le « bon » problème d’optimisation, on combine la dualité de Fenchel-Rockafellar, qui associe à un problème d’optimisation (dit primal) un problème dit dual, et le principe « de la baignoire », qui concerne la maximisation sous contraintes d’un produit scalaire. Les contrôles optimaux associés à ce « bon » problème ont alors de bonnes chances d’être des formes, et de répondre ainsi à la question initiale.
La méthode de preuve permet d’étudier plus généralement la question du contrôle d’EDP avec des contraintes sur le contrainte, notamment le phénomène dit « bang-bang » : en dimension finie, il a été souvent observé que les contrôles optimaux (notamment les contrôles en temps minimal) saturent les contraintes qui leur sont imposées, et ont donc une forme plus simple (par exemple, une fonction constante par morceaux en temps). Le phénomène apparaît également en dimension infinie et nous verrons comment l’approche développée pour l’équation de la chaleur permet de l’étudier.