La moyennabilité des groupes est un concept introduit par J. von Neumann dans son article fondateur (1929) afin de comprendre ce qu’on appelle le paradoxe de Banach-Tarski. On montre facilement que le groupe libre F à deux générateurs est non moyennable. Il en découle que les groupes discrets dénombrables contenant F ne sont pas moyennables. Le « problème de von Neumann » interroge une réciproque.

Dans les années 80, Ol’shanskii a montré que ses monstres de Tarski fournissent des contre-exemples.

Cependant, afin d’étendre certains résultats concernant les groupes libres à d’autres groupes G non moyennables, il suffit parfois de savoir qu’ils « contiennent » F dans un sens dynamique bien plus faible, un sens de théorie ergodique.

La solution de ce « problème de von Neumann mesuré » fait appel à la théorie de la percolation sur les graphes de Cayley et à celle de coût des actions.

Je présenterai une introduction à ces divers sujets, avec des exemples, des dessins et quelques animations !…