Expansion, divisibilité et parité

Nous discuterons d’un graphe qui encode les propriétés de divisibilité des entiers par les nombres premiers. Nous montrons que ce graphe possède une propriété d’expansion locale forte p. p.  (presque partout). Nous obtenons plusieurs conséquences en théorie des nombres, au-delà de la traditionnelle barrière de parité, en combinant nos résultats avec ceux de Matomäki-Radziwill. Par exemple: pour la fonction de Liouville $\lambda$ (il s’agit de la fonction complètement multiplicative avec $\lambda(p)=-1$ pour chaque premier $p$), $$\frac{1}{\log x} \sum_{n\leq x} \frac{\lambda(n) \lambda(n+1)}{n} = O\left(\frac{1}{\sqrt{\log\log x}}\right)$$