From symmetries of a singular foliations to « universal » Lie infinity algebroids

1) Je ferai d’abord une courte introduction de mon premier article écrit en collaboration avec C. Laurent-Gengoux.

Ce papier montre qu’il existe une équivalence de catégories entre les algèbres de Lie-Rinehart sur une algèbre commutative O et les classes d’équivalence d’homotopie des algébroïdes de Lie-infinie gradués négativement sur leurs résolutions. Ce résultat étend à un cadre purement algébrique la construction de la Q-variété universelle d’un feuilletage singulier localement réel analytique. En particulier, cela a du sens de parler de l’algébroïde universel de Lie-infinie de n’importe quel feuilletage singulier, sans aucune hypothèse supplémentaire, et pour les algébroïdes de Lie singuliers d’Androulidakis-Zambon.

Aussi, à tout idéal I ⊂ O préservé par l’application d’ancre d’une algèbre de Lie-Rinehart A, nous associons une classe d’équivalence d’homotopie d’algébroïdes de Lie-infinie graduées négativement sur des complexes calculant Tor(A, O/I).

2) Ensuite, Je donnerai quelques applications des algébroïdes de Lie-infinie universel sur les symétries des feuilletages singuliers. Ce qui fait l’objet de mon deuxième article.

En utilisant les résultats précédents nous montrons qu’il est toujours possible de relever toute  action  d’une algèbre de Lie g sur une varieté differentielle M qui agit par symetrie sur un feuilletage singulier F en un morphisme de Lie-infinie de g dans les champs de vecteurs d’une Q-variété universelle sur F. On déduit de ce résultat général plusieurs conséquences géométriques. On donne des exemples d’action de l’algèbre de Lie sur un sous espace affine qui ne peut être étendu à l’espace ambiant.