titre : Imprimitivité algébrique et représentations de groupes sur des espaces de Banach

résumé : Une des applications du théorème d’imprimitivité de Mackey est la classification des représentations unitaires irréductibles d’un produit semi-direct de groupes localement compacts $K \ltimes V$, avec $V$ abélien, à partir de celle de certains sous-groupes de $K$. Dans cet exposé, nous expliquerons comment étendre cette méthode aux représentations irréductibles non-unitaires, lorsque $K$ et $V$ sont des groupes de Lie, $K$ est compact et $V$ connexe. L’idée est de “complexifier” l’action coadjointe de $K$ sur $V$ puis d’utiliser quelques faits élémentaires issus de la théorie des groupes algébriques.

Titre : Arithmétique des schémas en groupes de Bruhat-Tits sur les anneaux de Dedekind semi-locaux.

Résumé :

Soit un DVR R et groupe réductif G sur K = Frac(R). On dit que P est un schéma en groupes de Bruhat-Tits sur R si, pour tout idéal maximal m de R, P est de Bruhat-Tits (au sens usuel) sur la complétion de R par m.
Dans notre situation, un schéma en groupes de Bruhat-Tits sur un DVR complet peut être un schéma en groupes parahorique, stabilisateur d'un point, ou même le modèle de Néron lft d'un tore, ou des schémas en groupes encore plus exotiques.

La question clé de l'exposé est de comprendre quand l'application H^1(R,P) --> H^1(K,G) est injective. 
Cette question a été initialement posée par Bayer et First pour leurs études sur les groupes classiques et les ordres héréditaires. 
La célèbre conjecture de Grothendieck-Serre sur R (démontrée par Nisnevich et Guo) est le cas particulier où P est réductif sur R.

Nous posons d'abord les bases de l'étude de la question, puis démontrons que l'application est toujours injective lorsque G est semi-simple simplement connexe (pour tout P). 
Nous donnons également quelques contre-exemples lorsque l'injectivité n'est pas réalisée.
Nous donnons également une preuve simplifiée de la conjecture de Grothendieck-Serre sur R, preuve qui s'inscrit donc davantage dans une approche immobilière.

Théorème de décomposition en cellules (II)

The Willmore energy arises naturally as a measure of how curved an immersed surface in $mathbb{R}^3$ is, with applications in relativity (the Hawking mass). Willmore immersions are critical points of this energy. We will study sequences of Willmore surfaces, which are subject to concentration-compactness i.e. : bubbling phenomena. We will focus on simple minimal bubbles, and detail consequences on the compactness below certain thresholds.

Let $s_{1}, dots, s_{k}$ be the elementary symmetric functions of the complex variables $x_{1}, dots, x_{k}$.
We say that $F in C[s_{1}, dots, s_{k}]$ is a {trace function} if their exists $f in C[z]$ such that
$F(s_{1}, dots, s_{k}] = sum_{j=1}^{k} f(x_{j})$ for all $s in C^{k}$.
We give an explicit finite family of second order differential operators in the Weyl algebra
$W_{2}:= C[s_{1}, dots, s_{k}]langle frac{partial}{partial s_{1}}, dots, frac{partial}{partial s_{k}}rangle $
which generates the left ideal in $W_{2}$ of partial differential operators killing all trace functions.
The proof uses a theorem for symmetric differential operators analogous
to the usual symmetric functions theorem and the corresponding map for symbols. As a corollary, we obtain for each integer $k$
a regular holonomic system which is a quotient of $W_{2}$ by an explicit left ideal whose local solutions are given by linear
combinations of the branches of the multivalued root of the universal equation of degree $k$:
$z^{k} + sum_{h=1}^{k} (-1)^{h}.s_{h}.z^{k-h} = 0$.

Théorème de décomposition en cellules (I)

Soit Y une hypersurface lisse dans une variété hyper-kählérienne irréductible projective X de dimension 2n et $sigma$ une forme holomorphiquement symplectique sur X. Le feuilletage caractéristique F sur une hypersurface Y est le noyau de la forme symplectique $sigma$ restreinte à  Y. Supposons qu’il existe une fibration lagrangienne $pi:Xto mathbb{P}^n$ et $Y=pi^{-1}D$ pour une hypersurface $D$ dans $mathbb{P}^n$. Je montre que une feuille générale de $F$ est Zariski dense dans une fibre de $pi$.

In 2008 Campana conjectured that a smooth projective family of canonically polarized manifolds over a special manifold (being opposed to general type manifolds) is isotrivial, i.e. any two fibers are isomorphic. This conjecture was proven by Taji in 2016. In this talk I will present a hyperbolic version of Campana’s isotriviality conjecture: a smooth family of canonically polarized or polarized Calabi-Yau manifolds over a hyperbolically special complex manifold (i.e. its Kobayashi pseudo distance vanishes identically) is necessarily isotrivial. This result is indeed inspired by another conjecture of Campana: a complex manifold is special if and only if it is hyperbolically special, and thus provides some (indirect) evidence to this conjecture.

This talk is about a joint work, still in progress, with Friedrich Tomi (Heidelberg University, Germany) where one investigates the existence of solutions which are invariant by a Lie subgroup of the isometry group of a Riemannian manifold $M$; acting freely and properly on $M$, to the Dirichlet problem of a certain class of partial differential equations on $M$: Typical examples of this class are the $p$-Laplacian PDE and the minimal surface equation. This approach may reduce the study of the Dirichlet problem in unbounded to bounded domains and also allows to prove the existence of solutions on domains which are not necessarily mean convex in the case of the minimal surface equation for certain boundary data.

Étant donnée une famille de surfaces K3 polarisées au dessus d’une base de dimension 1, que peut-on dire du lieu o๠le nombre de Picard est strictement plus grand que le nombre de Picard générique ? Quand la base est une courbe complexe quasi-projective et que la famille est non-isotriviale, une première réponse à  cette question est donnée par Green-Oguiso qui montrent que cet ensemble, dit lieu de Noehter-Lefschetz, est dense pour la topologie analytique. Quand la base est le spectre d’anneau d’entiers d’un corps de nombres, la situation est moins connue. Dans cet exposé, je parlerai de résultats récents dans les deux directions: le premier affirme l’equidistribution du lieu de Noether-Lefschetz dans le cas complexe par rapport à  une mesure naturelle sur la base. Ensuite, je montrerai dans le contexte arithmétique que l’ensemble des places du corps de nombre en question o๠le nombre de Picard saute est infini. Ce dernier résultat est en commun avec Ananth Shankar, Arul Shankar et Yunqing Tang.

If L is a line bundle on a projective manifold, then the existence of effective bounds for its tensor powers to have global sections or become globally generated have been a central problem in algebaic geometry for the last 150 years. While the case of curves follows from Riemann-Roch, satsifactory answers for surfaces only arrived about thirty years ago. Research in the area has been mostly motivated by Fujita’s conjectures predicting the global generation and very ampleness of certain adjoint line bundles. In this talk we will consider the case of effective global generation for projective manifolds with numerically trivial canonical bundle. This is an account of joint work with Yusuf Mustopa.