Tout d’abord, on rappel que l’existence d’un diviseur de
nombre de Picard 1 dans une variété de Fano lisse a des conséquences
sur la géométrie de la variété ambiante. Par exemple, le nombre de
Picard d’une telle variété de Fano est au plus 3. Ensuite, on présente
des résultats similaires concernant le cas des variétés (pas trop)
singulières, avec un regard particulier sur le cas de la dimension 3
et des variétés toriques en toute dimension.

Dans l’étude des structures géométriques sur une variété, on est souvent amené à  étudier l’espace des représentations de son groupe fondamental $Gamma$ à  valeurs dans un groupe de Lie donné. Lorsque ce groupe est SL(n,$mathbbC$), on dispose de la variété des caractères, qui est un objet algébrique permettant cette étude. Après avoir donné la définition et quelques propriétés de la variété des caractères pour SL(n,$mathbbC$), nous proposerons une définition de “variété de caractères pour une forme réelle” $G$ de SL(n,$mathbbC$), et nous vérifierons qu’elle permet bien l’étude des représentations de $Gamma$ à  valeurs dans $G$ à  conjugaison près.

Soit $M$ une variété de dimension 3 et $G$ son groupe fondamental. La recherche
d’éventuelles structures hyperboliques sur $M$ amène naturellement à  étudier l’espace
des représentations de $G$ dans SL(2,$mathbbC$) ou plutôt la variété des caractères
(espace des représentations modulo conjugaison).

On peut définir sur cette variété de caractère une fonction Volume, qui étend le
volume hyperbolique. Nous verrons comment l’étude des propriétés de cette
fonction renseigne sur la variété des caractères elle-même.