Je vais parle d’un travail en commun avec Jens Hornbostel
ainsi que d’un travail en cours avec Tomo Matsumura qui permet le calcul
de certains produits dans le cobordisme algebrique des varietes de
drapeaux.

Par la formule de la signature de Hirzebruch et d’Atiyah, Patodi et Singer, l’invariant êta du bord totalement géodésique $M$ d’une variété orientée plate $X$ de dimension $4k$ doit être un nombre entier. Nous démontrons un résultat similaire dans un contexte plus général: si $X$ est une variété Riemannienne compacte, localement conformément plate et à  bord $M$, alors l’invariant êta de $M$ doit être un entier, sans aucune condition sur le plongement de $M$ dans $X$. Ce résultat fournit des obstructions à  l’existence d’une métrique localement conformément plate sur $X$ prescrite le long de $M$.

What properties should a projective variety over a number field with only finitely many “rational points” have?
A conjecture of Green-Griffiths-Lang predicts that such a variety should be hyperbolic in a complex-analytic sense.
In this talk I will explain how to verify some predictions made by this conjecture.

In this talk we will show some topological and geometrical results for free boundary submanifolds under some hypothesis on the length of traceless second fundamental form. If time permits, we will deal with the problem of prescribe the curvature on Riemannian manifolds with boundary.

Chapitre V de Kumar

Etant donné un automorphisme (ou une transformation birationnelle) f d’une variété projective complexe X, on s’intéresse à  des propriétés dynamiques telles que le comportement des orbites typiques ou l’existence de points périodiques. Cette étude est simplifiée lorsque f permute les fibres d’une fibration non-triviale $picolon X to B$: la dynamique est alors décomposée en une dynamique sur la base B plus une dynamique sur les fibres. Une des premières questions est alors de déterminer sous quelles conditions la dynamique sur la base est finie; je présenterai un résultat dans cette direction, dont la preuve passe par un argument d’intégration p-adique. Le critère s’applique notamment aux transformations birationnelles des variétés symplectiques holomorphes irréductibles.
Si le temps me le permet, je présenterai des travaux plus récents en collaboration avec E.Rousseau et F.Touzet, qui traitent une version locale du même problème: au lieu d’une fibration, on suppose que f préserve un feuilletage F et on se demande sous quelles hypothèses un itéré de f préserve toute feuille de F.

La courbure de Gauss d’un corps convexe peut être vue comme une mesure (avec certaines propriétés) sur la sphère unité, étendant ainsi la notion de courbure de Gauss des convexes réguliers. Le problème d’Alexandrov consiste, à  partir d’une telle mesure, à  reconstruire le convexe. Pour les convexes de l’espace euclidien, une façon de résoudre ce problème est de se ramener à  un problème de transport optimal sur la sphère.
Pour les convexes de l’espace hyperbolique, ce problème de prescription de la courbure de Gauss est tout aussi naturel. Je montrerai comment définir la courbure de Gauss par une propriété de transport de mesures et comment cette approche permet de résoudre le problème d’Alexandrov en se ramenant à  un problème d’optimisation non linéaire. Si le temps le permet, j’expliquerai comment résoudre ce problème d’optimisation.
Travail en commun avec Jérôme Bertrand.

We discuss a spectral problem characterising the stability of apparent horizons in General
Relativity. Apparent horizons are closed (compact, without boundary) Riemannian surfaces
modelling sections of horizons in black hole spacetimes, namely Lorentzian manifolds satisfying
Einstein equations and containing light-trapped regions. After presenting the geometric elements
relevant for this kind of surfaces, we will formulate the (geometric) spectral problem associated
with the so-called stability operator of Marginally Outer Trapped Surfaces (MOTS), an elliptic
operator defined on these apparent horizons. Interestingly, such spectral problem is equivalent
to the one associated with a magnetic Laplacian with imaginary magnetic field, the magnetic field
term corresponding to the black hole rotation (a potential given by the apparent horizon curvature
is also present). This connection offers a potentially rich bridge between the original geometric
problem in relativity and the spectral analysis study of complexified-magnetic Laplacians.