titre : Imprimitivité algébrique et représentations de groupes sur des espaces de Banach

résumé : Une des applications du théorème d’imprimitivité de Mackey est la classification des représentations unitaires irréductibles d’un produit semi-direct de groupes localement compacts $K \ltimes V$, avec $V$ abélien, à partir de celle de certains sous-groupes de $K$. Dans cet exposé, nous expliquerons comment étendre cette méthode aux représentations irréductibles non-unitaires, lorsque $K$ et $V$ sont des groupes de Lie, $K$ est compact et $V$ connexe. L’idée est de “complexifier” l’action coadjointe de $K$ sur $V$ puis d’utiliser quelques faits élémentaires issus de la théorie des groupes algébriques.

Titre : Arithmétique des schémas en groupes de Bruhat-Tits sur les anneaux de Dedekind semi-locaux.

Résumé :

Soit un DVR R et groupe réductif G sur K = Frac(R). On dit que P est un schéma en groupes de Bruhat-Tits sur R si, pour tout idéal maximal m de R, P est de Bruhat-Tits (au sens usuel) sur la complétion de R par m.
Dans notre situation, un schéma en groupes de Bruhat-Tits sur un DVR complet peut être un schéma en groupes parahorique, stabilisateur d'un point, ou même le modèle de Néron lft d'un tore, ou des schémas en groupes encore plus exotiques.

La question clé de l'exposé est de comprendre quand l'application H^1(R,P) --> H^1(K,G) est injective. 
Cette question a été initialement posée par Bayer et First pour leurs études sur les groupes classiques et les ordres héréditaires. 
La célèbre conjecture de Grothendieck-Serre sur R (démontrée par Nisnevich et Guo) est le cas particulier où P est réductif sur R.

Nous posons d'abord les bases de l'étude de la question, puis démontrons que l'application est toujours injective lorsque G est semi-simple simplement connexe (pour tout P). 
Nous donnons également quelques contre-exemples lorsque l'injectivité n'est pas réalisée.
Nous donnons également une preuve simplifiée de la conjecture de Grothendieck-Serre sur R, preuve qui s'inscrit donc davantage dans une approche immobilière.

Chapitre V de Kumar

Etant donné un automorphisme (ou une transformation birationnelle) f d’une variété projective complexe X, on s’intéresse à  des propriétés dynamiques telles que le comportement des orbites typiques ou l’existence de points périodiques. Cette étude est simplifiée lorsque f permute les fibres d’une fibration non-triviale $picolon X to B$: la dynamique est alors décomposée en une dynamique sur la base B plus une dynamique sur les fibres. Une des premières questions est alors de déterminer sous quelles conditions la dynamique sur la base est finie; je présenterai un résultat dans cette direction, dont la preuve passe par un argument d’intégration p-adique. Le critère s’applique notamment aux transformations birationnelles des variétés symplectiques holomorphes irréductibles.
Si le temps me le permet, je présenterai des travaux plus récents en collaboration avec E.Rousseau et F.Touzet, qui traitent une version locale du même problème: au lieu d’une fibration, on suppose que f préserve un feuilletage F et on se demande sous quelles hypothèses un itéré de f préserve toute feuille de F.

La courbure de Gauss d’un corps convexe peut être vue comme une mesure (avec certaines propriétés) sur la sphère unité, étendant ainsi la notion de courbure de Gauss des convexes réguliers. Le problème d’Alexandrov consiste, à  partir d’une telle mesure, à  reconstruire le convexe. Pour les convexes de l’espace euclidien, une façon de résoudre ce problème est de se ramener à  un problème de transport optimal sur la sphère.
Pour les convexes de l’espace hyperbolique, ce problème de prescription de la courbure de Gauss est tout aussi naturel. Je montrerai comment définir la courbure de Gauss par une propriété de transport de mesures et comment cette approche permet de résoudre le problème d’Alexandrov en se ramenant à  un problème d’optimisation non linéaire. Si le temps le permet, j’expliquerai comment résoudre ce problème d’optimisation.
Travail en commun avec Jérôme Bertrand.

We discuss a spectral problem characterising the stability of apparent horizons in General
Relativity. Apparent horizons are closed (compact, without boundary) Riemannian surfaces
modelling sections of horizons in black hole spacetimes, namely Lorentzian manifolds satisfying
Einstein equations and containing light-trapped regions. After presenting the geometric elements
relevant for this kind of surfaces, we will formulate the (geometric) spectral problem associated
with the so-called stability operator of Marginally Outer Trapped Surfaces (MOTS), an elliptic
operator defined on these apparent horizons. Interestingly, such spectral problem is equivalent
to the one associated with a magnetic Laplacian with imaginary magnetic field, the magnetic field
term corresponding to the black hole rotation (a potential given by the apparent horizon curvature
is also present). This connection offers a potentially rich bridge between the original geometric
problem in relativity and the spectral analysis study of complexified-magnetic Laplacians.

En théorie des nombres, la suite de Brauer-Hasse-Noether est un résultat fondamental qui permet de comprendre les algèbres simples centrales sur le corps des nombres rationnels (ou ses extensions finies). Dans cet exposé, je vais présenter des généralisations de ces suites à  des situations plus géométriques, o๠le corps des nombres rationnels est remplacé par un corps de séries de Laurent à  deux variables.

Étant donné une courbe lisse C plongée dans sa Jacobienne J par une application d’Abel-Jacobi, le schéma de Hilbert H de J contenant le point [C] pour ce plongement est égal à  J en tant qu’ensemble. Cette égalité est schématique si C n’est pas hyperelliptique. Dans cet exposé on décrit la structure non-réduite de H le long de J dans le cas hyperelliptique. On en déduit en corollaire la structure de schéma sur l’espace des modules des faisceaux de Picard sur J, introduit par Mukai.

In 1962 Shafarevich conjectured that the base quasi-projective curve of any smooth, non-isotrivial family of projective curves with genus >1 is hyperbolic, which was proved by Parshin and Arakelov. The higher dimensional Shafarevich hyperbolicity conjecture (SHC) can be formulated as follows: let Y be the quasi-projective base of any family of canonically polarized manifolds whose induced moduli map is quasi-finite. Then Y is of log general type (algebraic version) , and Y is Kobayashi hyperbolic (analytic version). The algebraic SHC was proved by Campana-Păun in 2015, combining previous work by Viehweg-Zuo. The analytic SHC was first proved by Viehweg-Zuo in 2002 for Brody hyperbolicity, and later by To-Yeung in 2014 for Kobayashi hyperbolicity. In this talk, I will present my recent work (jointly with Abramovich) on the extension of the aforementioned work by To-Yeung, to the moduli spaces of minimal projective manifolds.