The BNS set of a finitely generated group $\Gamma$ is a certain canonical subset of the space of real additive characters on $\Gamma$. It is a subtle invariant of the group that naturally comes up in different questions of geometric and homological group theory. In the case when $\Gamma$ is the fundamental group of a compact Kähler manifold $X$, Thomas Delzant found a beautiful description of its BNS set in terms of holomorphic fibrations of $X$ over hyperbolic orbifold curves. Using it, he showed that if the fundamental group of a compact Kähler manifold is virtually solvable, it is in fact virtually nilpotent. I will explain the main ideas behind Delzant’s proof and how to generalise his theorems to the case when $X$ is a smooth complex quasi-projective variety. Time permitting, I will also discuss some applications and the case of quasi-Kähler manifolds.

Formalisme thermodynamique à basse température, dynamique symbolique et quasi-cristaux

L’étude de modèles simples de physique statistique sur le réseau $\mathbb{Z}^d$, visant à comprendre la transition du désordre vers un ordre périodique ou quasi-périodique quand la température est suffisamment basse, nécessite une interconnexion entre le formalisme des mesures de Gibbs et des états d’équilibre, la dynamique symbolique multidimensionnelle, les pavages et l’informatique théorique. En particulier, des espaces associés aux marginales finies-dimensionnelles des mesures invariantes par décalage apparaissent et possèdent une étonnante richesse. Cet exposé se propose de présenter un panorama introductif de ce domaine de recherche.

Les conditions de stabilité à  la Bridgeland ont joué ces dernières années un rôle central dans l’étude des espaces de modules. Une des propriétés fondamentales des telles conditions est la possibilité de les déformer, ce qui donne lieu à  une variété complexe avec une structure de chambres et murs correspondant à  différents modèles birationnels d’un espace de module de fibrés $mu$-semistables. Néanmoins, il est très difficile de montrer l’existence de telles conditions en dimension au moins trois. Dans cet exposé, je présenterai les idée fondamentales dans les cas plus simples (surfaces) et je montrerai comment utiliser un argument de C.Li pour construire des conditions de stabilité sur une variété de Fano de dimension 3. Il s’agit d’un résultat obtenu en collaboration avec E. Macri’, B. Schmidt et X. Zhao.

Soit $X$ une variété kählérienne compacte à  fibré anticanonique nef. D’après Q. Zhang et M. Paun, on sait que l’application d’Albanese est surjective. On étudie ici la régularité de l’application d’Albanese et on montre que cette application est lisse si X est projective.

Le lieu de dégénérescence généralisé d’une section $s$ d’un fibré vectoriel $E$ sur une variété est le lieu des points $x$ o๠$s$ dégénère, c’est-à -dire $s(x)$ appartient à  une sous-variété fixée de l’espace total de $E$ ; cette notion généralise, par exemple, les lieux de dégénérescence habituels d’un morphisme entre deux fibrés vectoriels. Dans cet exposé, je vais présenter des techniques géométriques pour l’étude de ces lieux de dégénérescence ; avec ces techniques, on peut produire de nombreux exemples de variétés à  canonique trivial, notamment de Calabi-Yau, en généralisant de cette façon certaines constructions connues (variétés déterminantales, lieux des zéros). Il s’agit d’un travail en commun avec Vladimiro Benedetti, Sara Angela Filippini et Laurent Manivel.

C’est un travail commun avec Damian Brotbek. Nous prouvons que toute variété projective lisse M contient des sous-variétés avec cotangent ample en toute dimension $nleq dim(M)/2$. Nous construisons de telles variétés comme certaines intersections complètes.

Soient $S$ une surface et $V$ le $mathbb{Q}$-espace vectoriel des diviseurs modulo équivalence numérique. Le produit d’intersection définit un accouplement parfait sur $V$. On sait depuis les années Trente qu’il est de signature $(1,n)$. Dans les années Soixante Grothendieck a conjecturé une généralisation de cet énoncé aux cycles de codimension quelconque sur des variétés générales. En caractéristique zéro cette conjecture est une conséquence des relations de Hodge Riemann. En caractéristique positive assez peu est connu. Nous expliquerons comment démontrer cette conjecture pour les variétés abéliennes de dimension quatre.

We introduce a new method to obtain Harnack inequalities for extrinsic curvature flows such as the mean curvature flow and more general fully nonlinear flows. For example, this method allows us to deduce Harnack inequalities for the mean curvature flow in locally symmetric (Riemannian or Lorentzian) Einstein spaces, for flows with convex speeds in the De Sitter space and for the Gauss curvature flow in Minkowski space.