Les conditions de stabilité à  la Bridgeland ont joué ces dernières années un rôle central dans l’étude des espaces de modules. Une des propriétés fondamentales des telles conditions est la possibilité de les déformer, ce qui donne lieu à  une variété complexe avec une structure de chambres et murs correspondant à  différents modèles birationnels d’un espace de module de fibrés $mu$-semistables. Néanmoins, il est très difficile de montrer l’existence de telles conditions en dimension au moins trois. Dans cet exposé, je présenterai les idée fondamentales dans les cas plus simples (surfaces) et je montrerai comment utiliser un argument de C.Li pour construire des conditions de stabilité sur une variété de Fano de dimension 3. Il s’agit d’un résultat obtenu en collaboration avec E. Macri’, B. Schmidt et X. Zhao.

Soit $X$ une variété kählérienne compacte à  fibré anticanonique nef. D’après Q. Zhang et M. Paun, on sait que l’application d’Albanese est surjective. On étudie ici la régularité de l’application d’Albanese et on montre que cette application est lisse si X est projective.

Le lieu de dégénérescence généralisé d’une section $s$ d’un fibré vectoriel $E$ sur une variété est le lieu des points $x$ o๠$s$ dégénère, c’est-à -dire $s(x)$ appartient à  une sous-variété fixée de l’espace total de $E$ ; cette notion généralise, par exemple, les lieux de dégénérescence habituels d’un morphisme entre deux fibrés vectoriels. Dans cet exposé, je vais présenter des techniques géométriques pour l’étude de ces lieux de dégénérescence ; avec ces techniques, on peut produire de nombreux exemples de variétés à  canonique trivial, notamment de Calabi-Yau, en généralisant de cette façon certaines constructions connues (variétés déterminantales, lieux des zéros). Il s’agit d’un travail en commun avec Vladimiro Benedetti, Sara Angela Filippini et Laurent Manivel.

C’est un travail commun avec Damian Brotbek. Nous prouvons que toute variété projective lisse M contient des sous-variétés avec cotangent ample en toute dimension $nleqdim(M)/2$. Nous construisons de telles variétés comme certaines intersections complètes.

Soient $S$ une surface et $V$ le $mathbbQ$-espace vectoriel des diviseurs modulo équivalence numérique. Le produit d’intersection définit un accouplement parfait sur $V$. On sait depuis les années Trente qu’il est de signature $(1,n)$. Dans les années Soixante Grothendieck a conjecturé une généralisation de cet énoncé aux cycles de codimension quelconque sur des variétés générales. En caractéristique zéro cette conjecture est une conséquence des relations de Hodge Riemann. En caractéristique positive assez peu est connu. Nous expliquerons comment démontrer cette conjecture pour les variétés abéliennes de dimension quatre.

We introduce a new method to obtain Harnack inequalities for extrinsic curvature flows such as the mean curvature flow and more general fully nonlinear flows. For example, this method allows us to deduce Harnack inequalities for the mean curvature flow in locally symmetric (Riemannian or Lorentzian) Einstein spaces, for flows with convex speeds in the De Sitter space and for the Gauss curvature flow in Minkowski space.

Une forme réelle d’une variété algébrique complexe $X$ est une variété réelle dont la complexification est isomorphe à  $X$. Dans cet exposé, nous nous intéresserons au problème de la finitude des classes d’isomorphisme des formes réelles des surfaces rationnelles (posé par Kharlamov pour les surfaces projectives lisses en général). Nous montrerons d’abord que toute surface rationnelle dont le groupe d’automorphismes ne contient pas un groupe libre a un nombre fini de formes réelles. Nous verrons ensuite que certaines surfaces rationnelles à  “grands” groupes d’automorphismes ont également un nombre fini de formes réelles, comme les paires KLT Calabi-Yau ou les surfaces Cremona-spéciales.