En théorie des nombres, la suite de Brauer-Hasse-Noether est un résultat fondamental qui permet de comprendre les algèbres simples centrales sur le corps des nombres rationnels (ou ses extensions finies). Dans cet exposé, je vais présenter des généralisations de ces suites à  des situations plus géométriques, o๠le corps des nombres rationnels est remplacé par un corps de séries de Laurent à  deux variables.

Étant donné une courbe lisse C plongée dans sa Jacobienne J par une application d’Abel-Jacobi, le schéma de Hilbert H de J contenant le point [C] pour ce plongement est égal à  J en tant qu’ensemble. Cette égalité est schématique si C n’est pas hyperelliptique. Dans cet exposé on décrit la structure non-réduite de H le long de J dans le cas hyperelliptique. On en déduit en corollaire la structure de schéma sur l’espace des modules des faisceaux de Picard sur J, introduit par Mukai.

In 1962 Shafarevich conjectured that the base quasi-projective curve of any smooth, non-isotrivial family of projective curves with genus >1 is hyperbolic, which was proved by Parshin and Arakelov. The higher dimensional Shafarevich hyperbolicity conjecture (SHC) can be formulated as follows: let Y be the quasi-projective base of any family of canonically polarized manifolds whose induced moduli map is quasi-finite. Then Y is of log general type (algebraic version) , and Y is Kobayashi hyperbolic (analytic version). The algebraic SHC was proved by Campana-Păun in 2015, combining previous work by Viehweg-Zuo. The analytic SHC was first proved by Viehweg-Zuo in 2002 for Brody hyperbolicity, and later by To-Yeung in 2014 for Kobayashi hyperbolicity. In this talk, I will present my recent work (jointly with Abramovich) on the extension of the aforementioned work by To-Yeung, to the moduli spaces of minimal projective manifolds.

I will recall the stacks of shtukas, their cohomologies and constant term morphisms. Then I will show that the contractibility of deep enough strata implies that the cohomologies are Hecke algebra modules of finite type. Then we can extend the definition of the excursion operators of V.Lafforgue from the space of cuspidal automorphic forms to the space of automorphic forms.

Dans cet exposé, j’introduirai la notion de feuilles symplectiques chirales qui peuvent être vues comme des analogues des feuilles symplectiques pour les algèbres vertex de Poisson. A l’aide de cette notion, je montrerai que toute algèbre vertex quasi-lisse est une quantification de l’espace d’arc de sa variété associée. Je présenterai aussi une application aux espaces d’arcs des tranches de Slodowy et au centre de vertex des W-algebres de niveau critique.

Soit $M = tilde M/Gamma$ une variété à  courbure négative, de groupe fondamental $Gamma$. La croissance des orbites de $Gamma$ sur $tilde M$ est une indication précise de la complexité de la topologie de $M$, fortement reliée aux propriétés dynamiques de son flot géodésique et au spectre du Laplacien en courbure constante.

Nous montrerons sur des exemples simples de surfaces riemanniennes les liens entre ces différents concepts dynamiques, topologiques et géométriques, grâce à  un contrôle précis de la série de Poincaré associée au groupe fondamental. Nous verrons en particulier comment de petites perturbations de la métrique riemannienne peuvent avoir des effets inattendus sur ces croissances d’orbites.

Travail en collaboration avec Marc Peigné et Pierre Vidotto

We consider a surface S generically immersed in the 4-ball B_4 and bounded by a transverse link L in S_3. Under some conditions at the boundary, we express the self-linking number sl(L) (w.r.t. the contact structure) as

sl(L) = −χ(S) + 2D_S + wind_+

where χ denotes the Euler characteristic, D_S is the number of crossing points and wind_+ counts the tangent planes to S which are Lagrangian and J-complex for some complex structure J on R^4.

We will sketch the proof, discuss the case when the condition at the boundary is not satisfied, give examples and look at the relevance of the formula for minimal surfaces.