On a closed Riemannian manifold, it is well known that critical metrics for volume-normalized Laplace eigenvalues are closely connected to minimal isometric immersions into spheres by eigenfunctions. In this talk, we address the analogous question for the conformal Laplacian by considering ratios of eigenvalues instead. We first motivate this normalization by establishing a Payne–Pólya–Weinberger inequality for the ratio of the first two eigenvalues in terms of a conformal invariant. Then we prove that critical metrics for this ratio correspond to harmonic–Einstein maps into spheres, which are solutions of a nonlinear sigma model coupled to gravity. Finally, we extend these results to the family of GJMS operators and beyond.

Hilbert a démontré qu’un polynôme réel en deux variables qui prend des valeurs positives est somme de quatre carrés de fractions rationnelles. Cassels, Ellison et Pfister ont montré que ce résultat est optimal : il existe de tels polynômes qui ne sont pas sommes de trois carrés de fractions rationnelles. Dans cet exposé, nous expliquerons pourquoi les polynômes qui peuvent s’écrire comme sommes de trois carrés sont denses dans l’ensemble de ceux qui sont positifs.