titres et résumés à venir

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Geometric methods in computational complexity

We discuss the interrelation between the asymptotic behavior of the trajectories of the geodesic flow associated with the modular surface and Diophantine properties of the points at infinity corresponding to the trajectory. Using the correspondence we give estimates for the number of solutions for certain quadratic inequalities in terms of the Hurwitz continued fraction expansions of the slopes of their linear factors.

Je présenterai le groupe des transformations de Cremona du plan et la topologie naturelle qu’on peut mettre sur celui-ci. L’ensemble des applications de degré borné est fermé et la question naturelle qui survient est de déterminer quelles applications de petit degré sont limites de celles de plus haut degré. Je donnerai quelques réponses à  ces question. Travail en commun avec Alberto Calabri.

Introduction pour quelques exposés de type groupe de travail sur les courants. Le livre de Morgan “Geometric Measure Theory, a beginner’s guide” sera la référence.

Dans cet exposé, j’expliquerai l’influence de la géométrie sur l’existence des solutions pour les équations de Hardy-Sobolev perturbées. Plus précisément, on considère $(M,g)$ est une variété Riemannienne compacte et sans bord de dimension $n > 2$, $x_0$ un point singulier naturel et fixe de $M$.  L’équation de Hardy-Sobolev non perturbée est la suivante : (Eq-H-S) $Delta_g u + au = u^{2*(s)-1} / d_g(x,x_0)^s$ avec $s in ]0,2[, 2*(s)$ est l’exposant critique de Hardy-Sobolev, $Delta_g$ est l’opérateur de Beltrami-Laplace. */ Si $n > 3$ alors, par minimisation, il existe une solution de (Eq-H-S) quand le potentiel a est en dessous de la courbure scalaire en $x_0$. */ Si $n=3$ alors il existe une solution de (Eq-H-S) quand la masse de la variété en $x_0$ est strictement positive.   Dans le cas d’une équationÂ à  terme perturbatif sous-critique,  l’existence d’une solution d’ependra uniquement de la perturbation pour les grandes dimensions et qu’une interaction entre la géométrie globale de la variété et la perturbation apparaîtra en dimension 3.

Dans cet exposé, on s’interessera aux représentations du groupe fondamental d’une surface $S$ dans PGL(3) sur un corps valué ultramétrique, agissant sur l’immeuble affine $X$ associé.  On montrera que, dans le cas o๠$S$ a un bord, sous des conditions simples sur les coordonnées de décalage de Thurston-Penner-Fock-Goncharov, l’action préserve un sous-complexe dans $X$, cocompact et faiblement convexe, qui est par morceaux un arbre ou une surface.  En particulier on associe à  ces représentations une famille de $A_2$-complexes finis, analogues aux surfaces de translation et semi-translation mais avec holonomie dans $mathbb{Z}/3mathbb{Z}$, permettant notamment de calculer le spectre de longueurs / valeurs propres.  Cela permet de décrire explicitement une large famille de dégénérescences de structures projectives convexes sur la surface $S$.

Soit $D$ un diviseur à  croisements normaux simples dans une variété kählérienne compacte $X$. Dans mon exposé j’expliquerai pourquoi l’existence sur $X-D$ d’une variation de structures de Hodge polarisées avec structure entière force l’existence d’une forme différentielle symétrique logarithmique non triviale, i.e. une section non nulle du faisceau $S^{>0}Omega^1(log D)$.
Le cas compact ($D = emptyset$) était l’un des résultats principaux d’un travail en commun avec Bruno Klingler et Burt Totaro. La preuve dans le cas général dépend fortement de la construction d’un foncteur “cycles proches” global dans une catégorie adéquate.
Comme application immédiate, on obtient de nouvelles restrictions pour les variétés qui supportent une famille non isotriviale de variétés polarisées qui vérifient un théorème de Torelli infinitésimal.

L’exposé portera sur des propriétés asymptotiques des groupes de présentation finie. En particulier, il y a une telle propriété, que j’expliquerai, la QSF; elle est liée à  la simple connexité à  l’infini, à  la simple connexité géométrique et aux variétés de dimension trois. J’ai développé un programme pour montrer qu’elle est universelle pour tous les groupes de présentation finie. Ceci est lié, entre autres choses, aux travaux de Gromov et de G.Perelman. Aucune connaissance technique particulière ne sera nécessaire pour suivre l’exposé. Je vais tout définir et expliquer, aussi, le cadre historique du sujet.

La question suivante est classique en Géométrie complexe depuis fort longtemps : Soit $(X_t)$ , $t$ décrivant un disque $D$ de centre $0$, une famille holomorphe de variétés complexes compactes telle que pour t différent de $0$ la variété $X_t$ soit projective. Alors $X_0$ est-elle biméromorphe à  une variété projective ? Dans le cas o๠l’on suppose $X_0$ kahlérienne,la solution est simple. Sans hypothèse supplémentaire elle est encore ouverte à  ce jour. Dans un article aux Invent. Math. de l’an passé, Dan Popovici résoud cette question dans deux cas intéressants (donc avec des hypothèses supplémentaires assez faibles). Nous expliquerons comment l’utilisation de l’espace des cycles relatifs de codimension 1 de la famille considérée permet de généraliser notablement les résultats présentés dans cet article.

In this talk I will recall a theorem by Barth, Van de Ven, Tyurin and Sato claiming that a finite rank vector bundle on the infinite complex projective space $P^{infty}$ is isomorphic to a direct sum of line bundles. Then I will describe sufficient conditions on a locally closed ind-variety which ensure that the same result holds on $X$. I will also exhibit natural classes of linear locally complete ind-varieties which satisfy these sufficient conditions.