Autour de l’équation de Gross-Pitaevskii avec conditions initiales aléatoires

Ce projet de thèse s’inscrit dans l’étude de propriétés qualitatives d’équations aux dérivées partielles d’évolution non-linéaires. Plus particulièrement, nous nous intéressons à une classe d’équations appelées dispersives, qui comprend notamment l’équation des ondes et l’équation de Schrödinger. Ces modèles sont très étudiés puisqu’ils servent à décrire de nombreux phénomènes physiques : en optique non-linéaire, en électromagnétisme, en mécanique des fluides et en mécanique quantique notamment.

Le but de ce projet de thèse est d’approfondir la compréhension des modèles dispersifs avec condition initiale aléatoire dans le cas d’un domaine spatial non compact mais en présence de confinement. Un problème ouvert bien identifié dans cette thématique concerne la levée de l’hypothèse de radialité du travail [1]. Ce problème semble particulièrement délicat, aussi nous proposons dans cette thèse de faire un premier pas dans cette direction en étudiant une famille de modèles fractionnaires, indexé par un paramètre. Il est connu que lorsque le paramètre en question augmente, les propriétés de dispersion liées à la partie linéaire de l’équation sont plus prononcées, et il s’avère donc possible de traiter des données initiales moins régulières que pour le problème initial. Ainsi le but de la thèse est d’étudier l’influence de ce paramètre sur le caractère bien posé de l’équation pour des données initiales déterministes ou aléatoires.

[1] Yu Deng. Two-dimensional nonlinear Schrödinger equation with random radial data.
Analysis & PDE 5.5 (2012): 913–960.

Le candidat devra avoir un bagage solide en mathématiques pures et appliquées. En particulier, il devra avoir suivi un cours de niveau M2 en équations aux dérivées partielles d’évolution ainsi qu’un cours de calcul stochastique.