Problèmes extrémaux dans des permutations aléatoires non uniformes

L’étude des permutations aléatoires est un sujet central de la théorie des probabilités discrètes, avec notamment des applications en statistique, en analyse d’algorithmes, en physique statistique et en biologie. Alors que les premières recherches dans ce domaine se sont concentrées sur les permutations aléatoires uniformes, de nombreux articles considèrent aujourd’hui des modèles non uniformes plus réalistes, tels que les permutations aléatoires dites de Mallows. Dans les deux cas, un certain nombre d’aspects différents des permutations aléatoires ont été pris en compte : leurs décompositions en cycles, le nombre de descentes et d’inversions, leur plus longue sous-séquence croissante (que nous abrégerons par LIS à partir de maintenant), … À première vue, ces statistiques peuvent être classées en deux familles : soit les statistiques locales, qui comptent les sous-structures impliquant un nombre fixe d’éléments, soit les statistiques extrémales, qui recherchent la taille des plus grandes sous-structures d’un type donné (comme la LIS, mais aussi la taille du plus long cycle, etc…). Généralement, les statistiques extrémales sont plus difficiles à étudier, et le comportement des statistiques extrémales sur des modèles non uniformes de permutations aléatoires, est aujourd’hui un sujet de recherche actif.

L’objectif de cette thèse actuel est de faire progresser l’état de l’art sur les statistiques extrémales dans les modèles de permutations aléatoires non uniformes. Les statistiques considérées incluent la plus longue sous-suite croissante d’une permutation, la plus longue sous-suite commune entre deux permutations, et la longueur des plus longs cycles. Une liste non exhaustive de modèles à étudier est la suivante : échantillons de permutons, distributions dites ‘quasi-symétriques’ introduites par Stanley (y compris les mélanges par battage, et les permutations biaisées selon leur descente et indice majeur), et différents modèles de permutations séparables (récursives, les permutations ‘papillons’, …).

Objectifs : Faire progresser l’état de l’art sur les statistiques extrémales dans les modèles de permutations aléatoires non uniformes, via divers problèmes sur les plus longues sous-suites croissantes ou communes, et les plus longs cycles de permutations aléatoires non-uniforme.

Le candidat doit être titulaire d’un Master 2 en Mathématiques à la date de début de thèse, avec de solides connaissances et une expérience de recherche en probabilités et/ou combinatoire.