PDE and applications seminar | Nancy

A problem in electrostatic in the context of homogenization is studied. Assuming that each phase is made of a material with constant conductivity, we show that an approach based on boundary integral operators associated to the interfaces between the phases can be used. An introduction to such operators in the context of periodic conditions is presented. The problem is then showed to be equivalent to a boundary integral equation involving the so-called Neumann-Poincaré operator. As a consequence, its spectral properties can be used in order to derive an explicit modal expansion formula for the solution to the problem. The approach will be compared with the one involving the so-called Lippmann-Schwinger operator which is more systematically used in this context. In addition, the eigenpairs involved in the expansion are explored numerically and their links with those of the Lippmann-Schwinger operator are discussed.

Résumé

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D’une part le séminaire présentera des résultats en cours (et relativement préliminaires) sur la dynamique collective d’objets simplifiés, décrits comme des pusher/pullers. On montrera comment on peut adapter la “Force coupling method” à  des nageurs auto-propulsés,et comment l’ approximation dipolaire des interactions peut être traitée proprement pour un très grand nombre d’objets avec cette méthode. Elle sera exposée et illustrée pour des nageurs sphériques. D’autre part, pour la nage individuelle d’objets plus complexes (comme un flagele ou un cil), on présentera un nouveau traitement des contraintes cinématiques des contacts décrivant une fibre oscillante par un assemblage de billes articulés (bead models). Des illustrations de la comparaison de ce modèle avec différentes configurations et données et modèles de la littérature seront proposés.