PDE and applications seminar | Nancy

We introduce a new approach for solving the Benjamin—Ono equation as well as other integrable PDEs, based upon recent theoretical breakthroughs on explicit formulas for these equations. It opens the way to numerical approximations which are far more accurate and efficient for simulating these equations, allowing for the study of the asymptotic behavior of the solutions, with applications to the soliton resolution conjecture and in wave kinetic theory. Moreover, by perturbing these integrability techniques we obtain efficient schemes for numerically solving a class of PDEs including the Intermediate Long Wave equation, as well as equations which aren’t necessarily integrable.

A problem in electrostatic in the context of homogenization is studied. Assuming that each phase is made of a material with constant conductivity, we show that an approach based on boundary integral operators associated to the interfaces between the phases can be used. An introduction to such operators in the context of periodic conditions is presented. The problem is then showed to be equivalent to a boundary integral equation involving the so-called Neumann-Poincaré operator. As a consequence, its spectral properties can be used in order to derive an explicit modal expansion formula for the solution to the problem. The approach will be compared with the one involving the so-called Lippmann-Schwinger operator which is more systematically used in this context. In addition, the eigenpairs involved in the expansion are explored numerically and their links with those of the Lippmann-Schwinger operator are discussed.

Nous considérons des équations paraboliques linéaires unidimensionnelles et fortement dégénérées, avec des coefficients mesurables pouvant être dégénérés ou singuliers. En prenant 0 comme point de forte dégénérescence, nous supposons que le coefficient a=a(x) dans la partie principale de l’équation parabolique est tel que la fonction x→x/a(x) appartient à L^p(0,1) pour un certain p>1. Après avoir établi des estimations spectrales pour le problème elliptique correspondant, nous prouvons en utilisant la méthode de la platitude que l’équation parabolique est contrôlable à zéro dans l’espace d’énergie à l’aide d’un contrôle frontière. Il s’agit d’un travail fait en collaboration avec Antoine Benoit et Romain Loyer.

Depuis une dizaine d’années, l’étude d’EDP stochastiques dites singulières a grandement évolué avec les avancées majeures des structures de régularité et du calcul paracontrôlé. Dans cet exposé, je vais présenter des résultats sur l’équation de Schrödinger non-linéaire en présence d’un bruit blanc espace multiplicatif dans un cadre périodique ou non borné.

On présentera le modèle et on donnera des exemples où le retard déstabilise complètement le système même pour des petits retards. On donnera aussi des résultats de stabilisation exponentielle sous une condition analogue à la condition de contrôle géométrique dans le contexte des variétés sans bord. Ce résultat repose sur une étude pour sur les petites fréquences, dans ce cas on supposera le retard petit et une étude à hautes fréquences.

Plateau’s problem is a notorious problem in Calculus of Variations and Geometric Measure Theory. In this presentation, I will introduce a phase-field approximation of Plateau’s problem, based on the coupling of the Ambrosio–Tortorelli energy with a geodesic distance penalization, which encodes the topological constraints. I will then justify this approach through a Γ-convergence result towards a formulation of Plateau’s problem in codimension one, and analyze the functional by establishing existence and regularity results for minimizers. From an analytical perspective, I will also present an analysis of the limit problem and provide a characterization of quasi-minimizers in terms of John domains. Finally, this approach is implemented in a numerical framework to approximate solutions of Plateau’s problem in various configurations, illustrating the efficiency and flexibility of the proposed model.

Anisotropic Calderon’s inverse problem asks if the data given by voltage-to-current measurements on the boundary of a conducting domain can be used to uniquely determine the anisotropic conductivity in the interior of the domain. Geometric reformulated, this problem becomes: given a compact Riemannian manifold (M, g) with boundary, does the full knowledge of the Dirichlet-to-Neumann map (corresponding to the metric Laplacian -\Delta_g) determine the Riemannian metric g up to isometries fixing the boundary? In this talk, I will explain a positive answer at high frequencies, that is we will show that the D-t-N map of -\Delta_g – \lambda^2 for \lambda large enough determines the lens data, i.e. the exit points and directions of incoming geodesics (scattering data), together with travel times; under favourable geometric assumptions, this is known to determine g up to isometries. Joint work with S. Sahoo and G. Uhlmann.

Les équations classiques de l’hydrodynamique (Euler, Navier-Stokes) sont non-locales à travers le terme de pression. Des modèles simplifiés comme l’équation de Burgers se focalisent sur un champ scalaire pour enlever les contraintes géométriques. Nous présentons ici une variante non-locale des équations de Burgers, dont les instabilités sont liées au signe local de la solution, avec des résultats obtenus en collaboration avec R. Shvydkoy, C. Imbert, J. Tan, R. Anton et K. Verdure.