Renormalisation des opérateurs d’Anderson : au-delà du laplacien

Dans cet exposé, je présenterai la construction d’opérateurs de la forme L = H + xi, où H est un opérateur autoadjoint appartenant à une bonne classe et xi est un potentiel aléatoire de régularité strictement négative. L’idée est de construire ces opérateurs comme la limite de H+xi_eps-c_eps où xi_eps est une mollification du bruit et c_eps est une constante qui peut diverger quand eps tend vers 0.

Dans un premier temps, je présenterai un travail en collaboration avec Léonard Ferdinand et Aurélien Minguella, où H peut être un laplacien fractionnaire sur T^d ou R^d, ou bien l’oscillateur harmonique. Dans le cas de l’oscillateur harmonique, on prouve que l’on peut renormaliser à l’aide des constantes du laplacien, ce qui ferme une question ouverte depuis quelques années. Les opérateurs sont construits comme les générateurs des équations paraboliques associées, dont la renormalisation est menée par la méthode de flot de Duch.

Dans un second temps, je présenterai la construction paracontrôlée de H+xi dans le cas où H est une perturbation d’ordre inférieur d’un opérateur de Schrödinger confinant. Là encore, la renormalisation par des constantes est un résultat nouveau. Cette construction est, à ma connaissance, la première à traiter des opérateurs pseudo-différentiels. Cette approche permet des résultats plus fins que l’approche précédente, permettant par exemple une caractérisation totale des espaces de Sobolev et de Besov de faible régularité associés à ces opérateurs d’Anderson.