PDE and applications seminar | Nancy

In this talk, I will present controllability results for some linear and non-linear wave equations. The linear equations will be vector-valued and at different levels of regularity. I will give the main ideas of the proof of a change of regularity result. For the non-linear equations, I will consider the case of the focusing cubic Klein-Gordon equation. I will state a local controllability result around a regular solution, and a null-controllability result for scattering solutions. In the presence of damping, I will give both a positive and a negative stabilization result. I will also provide some ideas of proofs.

Initialement considéré comme un lemme clé dans les structures de régularité, le théorème de reconstruction s’est avéré être un outil analytique très flexible pour étudier l’intégration à la fois stochastique et déterministe en dimension supérieure. Dans cet exposé, nous discuterons d’une extension particulière du théorème de reconstruction dans un contexte stochastique où la famille de distributions sous-jacente satisfait certaines conditions naturelles impliquant des incréments rectangulaires. Cela nous permet de prouver l’existence et l’unicité d’une nouvelle classe d’équations aux dérivées partielles stochastiques de type hyperbolique qui combine l’intégration stochastique standard à la Walsh et les produits de Young.

Travail en collaboration avec Hannes Kern (TU Berlin).

On considère l’équation de la chaleur semi-linéaire sur la droite réelle. Si la solution est bornée, alors elle est globale et lisse, et l’ensemble des profils limite est non vide, connexe. Il est naturel de se demander dans quelle mesure ces profils limites, et donc le comportement en temps long de la solution, sont déterminés par les solutions stationnaires de l’équation. Si par exemple la solution est convergente, alors son ensemble omega-limite est réduit à  un singleton, solution stationnaire de l’équation. La convergence n’est en revanche pas une propriété générique de ces équations, mais si tous les profils limites sont solutions stationnaires on parlera alors de quasiconvergence. Dans ce séminaire je présenterai quelques résultats de quasiconvergence dans le cas o๠la condition initiale admet des limites à  l’infini. En particulier, dans la situation générique o๠les limites à  l’infini sont distinctes, toute solution bornée est quasiconvergente, indépendamment du terme non linéaire. Dans un second temps, on s’intéresse à  la situation de limites égales. Un résultat similaire est impossible, des contre-exemples ayant été donnés. On montre alors que, dans une certaine mesure, les contreexemples connus sont les seules situations de non quasiconvergence.

Dans les modèles d’écoulement d’un fluide visqueux en contact avec par des parois solides, la condition d’adhérence (qui impose que la vitesse du fluide coïncide avec la vitesse de la paroi le long de celle-ci) est la plus communément employée. Cette condition empirique est satisfaisante pour des écoulements à  échelle macroscopique. Cependant, elle devient imprécise à  des échelles très petites, comme par exemple dans le cas d’écoulement dans des nanotubes de carbone, o๠de nombreuses expériences ont mesuré un glissement du fluide sur la paroi. Ce glissement est généralement modélisé par une condition de Navier, qui introduit un paramètre appelé longueur de glissement. De nombreuses hypothèses sont actuellement étudiées pour expliquer l’origine de ce glissement apparent, et obtenir des longueurs de glissement cohérentes avec celles mesurées expérimentalement. L’une d’entre elles est la présence au voisinage de la paroi d’une couche de gaz extrêmement fine réduisant la friction entre le fluide et la paroi. Suivant les travaux de Tim G. Myers (Centre for mathematical research, Barcelona), nous proposerons dans cet exposé un modèle simplifié dans lequel la couche gazeuse est caractérisée par sa viscosité beaucoup plus faible que dans le reste du fluide. En partant d’une condition d’adhérence sur la paroi, nous montrerons que pour un certain choix du rapport des viscosités, le problème limite obtenu lorsque l’épaisseur de la couche gazeuse tend vers zéro est effectivement régi par une condition de Navier. Ce travail est en collaboration avec Julien Olivier (Aix-Marseille Université).

On considère une question étroitement liée à  une conjecture de Gromov: A quel seuil de régularité les immersions isométriques des domaines de $mathbb R^2$ dans $mathbb R^3$ sont développables? On cherche la réponse dans les régimes de Hölder $C^{1,s}$ ou plus généralement de Sobolev fractionnel $W^{1+s, p}$. Des bornes supérieures pour la valeur de seuil de $s$ sont classiquement obtenues par la méthode de l’integration convexe. Pour trouver les bornes inférieures, on définit une seconde forme fondamentale pour l’isométrie en question et on démontre qu’elle est une solution faible du système d’EDP de Gauss-Codazzi si $s>2/3$. L’analyse menant à  une démonstration de cette rigidité passe alors à  une discussion des solutions non-convexes et très faibles de l’équation de Monge-Ampère, et aux problèmes liés au déterminant de jacobien distributionnel.

Durant les 40 dernières années, des efforts considérables ont été consacrées à  l’étude des systèmes de réaction-diffusion avec des données initiales bornées ou de carré intégrable, et avec des non-linéarités au plus quadratiques. En revanche, on en sait relativement peu dans le cas o๠les données initiales sont de faible régularité et les non-linéarités sont à  croissance super-quadratique. Dans cet exposé, nous présentons une nouvelle estimation a priori avec des données initiales dans L1 qui étend l’estimation a priori L2 de Michel Pierre. Ensuite, nous expliquons comment cette estimation a priori L1 nous permet : de simplifier la preuve de certains résultats récents ; d’établir de nouveaux résultats d’existence pour des systèmes o๠les non-linéarités sont super-quadratiques. L’exposé repose sur un travail récent avec Benoit Perthame et sur un papier avec Michel Pierre.

My talk will be devoted to the qualitative properties of some nonlocal reaction-diffusion equations set on “perforated” open sets. One of the cornerstones in the study of this type of problem lies in suitable rigidity results of Liouville-type, which allow the classification of stationary solutions. I will give some results in this direction, under some geometric assumptions on the domain. This talk is based on some joint works with J. Coville, F. Hamel and E. Valdinoci.

I will present some recent results obtained in collaboration with Roberto Feola. I shall prove that small solutions of quasilinear equations on the circle exist for long time (depending on the size of the initial condition) if the equation enjoys an algebraic structure. In this directions I will consider the Hamiltonian or reversible equations. The main difficulties are the lack of dispersion, due to the compactness of the circle, and the lack of “easy” energy estimates due to the quasi-linear nature the considered equations.

Dans cet exposé, on considère l’équation des ondes amorties non-linéaires sur le tore de dimension 2, en présence d’un terme source stochastique donné par un bruit blanc espace-temps. On expliquera pourquoi la faible régularité du bruit impose de recourir à  une procédure de renormalisation afin d’obtenir une dynamique non triviale. Le cas d’une non-linéarité polynomiale est maintenant bien compris, et on se concentrera sur deux cas particuliers de non-linéarité non polynomiale donnés par le modèle de sine-Gordon et le modèle exp(Phi)_2 hyperbolique.

On considère l’équation de Schrodinger non-linéaire avec des non-linéarités polynomiales et des données initiales dans les espaces de Sobolev H^s. La question est de trouver la régularité s > 0 minimale telle qu’on a convergence ponctuelle des solutions aux données initiales. On étend les résultats linéaires au cas non-linéaire et on prouve des résultats plus fins pour des données initiales aléatoires.

La diffusion quantique (ou ondulatoire) concerne l’évolution d’ondes (ou de fonctions d’onde) provenant de l’infini, diffusées par un potentiel (ou un obstacle) localisé. La description de l’évolution des ondes aux temps longs débouche sur l’étude du spectre de résonances de l’opérateur engendrant l’évolution (opérateur hamiltonien, laplacien). Les résonances sont des valeurs propres généralisées de cet opérateur, à  valeurs complexes. On cherche à  décrire les résonances proches de l’axe réel (résonances à  temps de vie long), qui influencent plus fortement l’évolution aux temps longs. Dans le régime de haute fréquence (ou régime semiclassique), la distribution de ces résonances est influencée par la dynamique classique associée: le flot hamiltonien ou le flot géodésique; en particulier, l’ensemble des trajectoires captées (trajectoires ne s’échappant pas vers l’infini) joue un rôle important. Nous nous focaliserons sur des situations dans lesquelles ces trajectoires captées ont des propriétés d’instabilité (hyperbolicité). On obtiendra alors des critères dynamique sur ce flot, conduisant à  l’existence d’une bande sans résonances (“gap” de résonances). Par exemple, pour des configurations simples de plusieurs obstacles convexes dans l’espace euclidien, les trajectoires captées peuvent former un ensemble fractal portant une dynamique chaotique (on est dans une situation de “chaos quantique ouvert”). D’autres exemples en géométrie hyperbolique seront donnés. On étudiera également le cas o๠l’ensemble capté forme une sous-variété symplectique, sur laquelle le flot hamiltonien est transversalement hyperbolique. Ce dernier cas donne lieu à  une application inattendue: il permet d’analyser un problème de dynamique classique, la décroissance des corrélations pour un flot uniformément hyperbolique (flot Anosov de contact).

De manière analogue aux applications harmoniques classiques, qui sont les points critiques de l’énergie de Dirichlet, les applications s-harmoniques fractionnaires sont définies comme les points critiques de l’énergie de Dirichlet associée à  la puissance s du Laplacien, pour s dans (0,1). Dans cet exposé, après quelques rappels sur les applications harmoniques classiques, je présenterai le cadre fractionnaire et les résultats de régularité partiels que nous avons obtenus pour les applications à  valeurs sphère. Lorsque s=1/2, je ferai également le lien avec les surfaces minimales à  bord libre, qui nous a permis d’améliorer des résultats connus de régularité partielle dans le cas 1/2 minimisant.