PDE and applications seminar | Nancy

In this talk, I will present controllability results for some linear and non-linear wave equations. The linear equations will be vector-valued and at different levels of regularity. I will give the main ideas of the proof of a change of regularity result. For the non-linear equations, I will consider the case of the focusing cubic Klein-Gordon equation. I will state a local controllability result around a regular solution, and a null-controllability result for scattering solutions. In the presence of damping, I will give both a positive and a negative stabilization result. I will also provide some ideas of proofs.

Initialement considéré comme un lemme clé dans les structures de régularité, le théorème de reconstruction s’est avéré être un outil analytique très flexible pour étudier l’intégration à la fois stochastique et déterministe en dimension supérieure. Dans cet exposé, nous discuterons d’une extension particulière du théorème de reconstruction dans un contexte stochastique où la famille de distributions sous-jacente satisfait certaines conditions naturelles impliquant des incréments rectangulaires. Cela nous permet de prouver l’existence et l’unicité d’une nouvelle classe d’équations aux dérivées partielles stochastiques de type hyperbolique qui combine l’intégration stochastique standard à la Walsh et les produits de Young.

Travail en collaboration avec Hannes Kern (TU Berlin).

This talk is concerned with a geometric inverse problem related to the two-dimensional linear elasticity system. Thereby, voids under Navier’s boundary conditions are reconstructed from the knowledge of partially over-determined boundary data. The proposed approach is based on the so-called energy-like error functional combined with the topological sensitivity method. The topological derivative of the energy-like misfit functional is computed through the topological-shape sensitivity method. Firstly, the shape derivative of the corresponding misfit function is presented. Then, an explicit solution of the fundamental boundary-value problem in the infinite plane with a circular hole is calculated by the Muskhelishvili formulae. Finally, the asymptotic expansion of the topological gradient is derived explicitly with respect to the nucleation of a void. Numerical tests are performed in order to point out the efficiency of the developed approach.

Le flot binormal est un modèle pour la dynamique d’un tourbillon filamentaire dans un fluide 3-D incompressible non-visqueux. Ce flot est également relié au modèle de Heisenberg continu classique, et à  l’équation de Schrödinger. Après avoir décrit ce modèle, je vais présenter une classe de solutions qui génèrent des singularités en temps fini. En particulier, je vais mettre en évidence une énergie conservée en temps sauf au moment de l’apparition des singularités, o๠elle présente un saut. Interprétée au niveau de la mécanique des fluides, cette énergie fait intervenir les grands modes de Fourier de la variation de la direction de vorticité. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Luis Vega.

Je présenterai un procédé général pour approcher un problème d’optimisation topologique de formes par un problème d’optimisation de densité. La construction repose sur l’utilisation d’un opérateur de régularisation (filtre) et d’un profil d’interpolation pour munir les régions de densité intermédiaire de propriétés spécifiques. Le résultat principal est que, sous certaines hypothèses et dans un certain sens, la dérivée de Fréchet du problème approché converge vers la dérivée de forme du problème initial sur la frontière du domaine et la dérivée topologique en dehors. Cela apporte un point de vue nouveau sur la construction de schémas d’interpolation consistants. Je présenterai différents algorithmes associés et les illustrerai par des exemples en optimisation de (micro)structures élastiques. J’aborderai également la prise en compte d’une pénalisation périmétrique afin de régulariser les domaines obtenus. Travail en collaboration avec C. Dapogny (LJK, Univ. Grenoble-Alpes) et A. Ferrer (CMAP, Ecole Polytechnique).

Dans cet exposé, je passerai en revue un certain nombre de résultats récents sur les équations de Hamilton-Jacobi diffusives, de la forme $u_t-Delta u=|nabla u|^p+h(x)$. Ce type d’équations, qui interviennent en théorie du contrôle stochastique, mais aussi dans certains modèles de croissance de surface, donnent lieu à  une variété de comportements intéressant. Nous nous intéresserons en particulier à  deux classes de phénomènes: – Explosion du gradient: localisation des singularités au bord, explosion en seul point, vitesses d’explosion, profils en espace, estimations de type Bernstein, théorèmes de type Liouville et applications; – Continuation au sens de viscosité après l’explosion du gradient: solutions avec ou sans perte de conditions au bord, récupération des conditions au bord, régularisation.

On construit des solutions (approchées à  tout ordre) hautement oscillantes du problème des nappes de tourbillon-courant en magnétohydrodynamique incompressible. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Olivier Pierre.

Dans cet exposé je reviendrai sur des travaux récents en optimisation pour l’équation de Fisher-KPP. Cette équation est fréquemment utilisée en écologie afin de modéliser l’évolution d’une population dans un environnement hétérogène. Plusieurs travaux ont ces dernières années étudié comment optimiser une valeur propre dont le signe caractérise la survie ou l’extinction de cette population, en fonction du taux de croissance. Dans un travail commun avec Idriss Mazari et Yannick Privat, nous avons optimisé une autre quantité : la population totale à  l’équilibre. Les résultats sont plus contrastés pour cette quantité et dépendent du taux de diffusion de la population.

La théorie des systèmes de réaction-diffusion de type Lotka-Volterra s’enrichit singulièrement lorsque l’on insère des termes de diffusion croisée, avec en particulier l’apparition de patterns. On discutera l’intérêt de l’apparition de ces termes, les difficultés mathématiques qu’ils engendrent, et les conclusions que l’on peut tirer de leur utilisation en terme de modélisation.

Dans cet exposé, nous nous intéresserons au phénomène de « scattering » pour certaines EDPs dispersives non-linéaires : il s’agira de “comparer” la solution non-linéaire (lorsqu’elle existe globalement) à  des solutions du problèmes linéaire lorsque le temps devient grand. Nous rappellerons d’abord les résultats connus sur R^d, à  savoir que sous certaines conditions sur la non-linéarité, on peut effectivement comparer, en temps longs, la solution non-linéaire à  des solutions linéaires. Ce résultat est dà» à  un bon contrôle de la solution non-linéaire. Nous verrons aussi que des résultats similaires dans le cadre d’une variété riemannienne compacte M^k n’ont pas lieu d’être. La question à  laquelle on tâchera de répondre (au moins partiellement) est donc la suivante : si on se place sur un espace produit de type R^d times M^k, quel est le comportement dominant ? Peut-on espérer avoir du « scattering » en faisant vivre seulement une partie des variables spatiales dans R^d ? Autrement dit : un contrôle « partiel » de la solution peut-il suffire à  obtenir du « scattering » ? Nous verrons quelles sont les conditions naturelles sur la non-linéarité pour espérer des résultats de type « scattering » dans un espace produit et donnerons des idées de preuve pour la partie “technique” du résultat. Nous commencerons par les équations de Schrödinger qui ont été les premières à  être étudiées dans ce cadre puis nous tâcherons d’exhiber le même type de comportement pour les équations de Klein-Gordon.

On considère un système d’interaction fluide-structure entre un fluide incompressible dans un domaine tridimensionnel et une plaque élastique localisée sur la partie supérieure du bord. Le fluide est gouverné par l’équation de Navier-Stokes et le mouvement de la structure est régit par l’équation des plaques avec damping. On munit notre système des conditions de Navier sur le bord. Notre principal objectif est d’étudier l’existence et l’unicité de solutions fortes associées à  ce système.

Résumé