PDE and applications seminar | Nancy

In this talk, I will present controllability results for some linear and non-linear wave equations. The linear equations will be vector-valued and at different levels of regularity. I will give the main ideas of the proof of a change of regularity result. For the non-linear equations, I will consider the case of the focusing cubic Klein-Gordon equation. I will state a local controllability result around a regular solution, and a null-controllability result for scattering solutions. In the presence of damping, I will give both a positive and a negative stabilization result. I will also provide some ideas of proofs.

Initialement considéré comme un lemme clé dans les structures de régularité, le théorème de reconstruction s’est avéré être un outil analytique très flexible pour étudier l’intégration à la fois stochastique et déterministe en dimension supérieure. Dans cet exposé, nous discuterons d’une extension particulière du théorème de reconstruction dans un contexte stochastique où la famille de distributions sous-jacente satisfait certaines conditions naturelles impliquant des incréments rectangulaires. Cela nous permet de prouver l’existence et l’unicité d’une nouvelle classe d’équations aux dérivées partielles stochastiques de type hyperbolique qui combine l’intégration stochastique standard à la Walsh et les produits de Young.

Travail en collaboration avec Hannes Kern (TU Berlin).

Le modèle de Navier-Stokes quantique correspond au modèle classique de Navier-Stokes auquel est ajouté un terme de correction quantique appelé potentiel de Bohm. On s’intéressera dans cet exposé à  l’étude de l’existence de solutions ainsi qu’aux limites asymptotiques du modèle (limite semi-classique et limite de faible viscosité).

Nous considérons le problème inverse consistant à  déterminer de façon unique un terme apparaissant dans une équation de diffusion, linéaire ou non-linéaire, à  partir de mesures des solutions sur le bord du domaine. Dans le cas linéaire, notre équation est une équation de convection-diffusion décrivant le transfert de particules, d’énergie ainsi que d’autres quantités physiques. Notre problème inverse consiste à  déterminer le champs de vitesse, avec lequel la quantité décrite se déplace, ainsi que des informations à  propos de la densité du milieu. Nous nous plaçons dans un cadre général o๠les quantités que nous cherchons à  déterminer sont associées à  des coefficients dépendant des variables spatiales et temporelles avec des conditions de régularité affaiblies. Dans le cas non-linéaire, nous traiterons le problème consistant à  déterminer un terme quasi-linéaire apparaissant dans l’équation. Ce travail est issu d’une collaboration avec Pedro Caro.

On s’intéresse au problème de sédimentation de N particules dans un fluide visqueux. On suppose que les particules sont sphériques avec un rayon proportionnel à  1/N. On néglige l’inertie et on prend en compte la vitesse angulaire des particules. Un premier résultat dà» à  P.E. Jabin et F. Otto montre qu’il n y a pas d’interaction entre les particules si elles sont “assez diluées”. i.e la distance minimale entre les particules est très grande devant 1/N^{1/3}. Un deuxième résultat dà» à  R.M Höfer montre que, dans le cas o๠la distance minimale entre les particules est de l’ordre de 1/N^{1/3}, il y a interaction entre les particules et le modèle converge lorsque N tend vers l’infini vers l’équation de Vlasov-Stokes. Dans cet exposé, on s’intéresse à  l’extension de ces résultats pour des configurations de particules ayant une distance minimale inférieure au seuil critique 1/N^{1/3}. En utilisant la méthode de reflections, on calcule explicitement la vitesse de chute de chaque particule. Ce qui nous permet, dans un premier temps, d’assurer la propagation en temps fini de la distance minimale. Dans un second temps, on montre que la densité converge au sens de la distance de Wasserstein vers la solution de l’équation de Vlasov-Stokes. L’étude de convergence découle de la théorie de champs moyens développée par M. hauray et P.E Jabin dans leurs papiers.

Dans cet exposé, on s’intéresse à  la minimisation du temps de crise, fonctionnelle discontinue en horizon infini. Cette fonctionnelle mesure le temps passé par une solution d’un système contrôlé à  l’extérieur d’un ensemble K qui représente typiquement des contraintes d’état. Lorsque la condition initiale n’est pas dans le noyau de viabilité de K, ou que ce noyau est vide, la minimisation de cette fonctionnelle prend tout son sens. A travers cet exposé, on verra comment donner les conditions nécessaires d’optimalité permettant de calculer une trajectoire optimale, et on étudiera une régularisation du temps de crise. On examinera la convergence des extrémales du problème régularisé vers une extrémale du problème original (par Gamma-convergence). Enfin, grâce une reformulation du temps de crise, nous développerons quelques exemples pour comparer celui-ci avec la stratégie “temps minimal” pour rejoindre le noyau de viabilité.

Je présenterai quelques résultats concernant la modélisation du développement des plantes dans leur environnement. En partant d’un nouveau modèle de distribution de sucrose dans les arbres, j’arriverai à  la propagation de ravageurs (végétales puis animales) dans des paysages agricoles. Mon propos sera centré sur des systèmes continus de type advection-réaction-diffusion.

On étudie le problème de rigidité qui consiste à  savoir si le spectre marqué des longueurs de géodésiques fermées determine la métrique Riemannienne sous-jacente. Travail avec Thibault Lefeuvre.

La conjecture de résolution en solitons affirme que toute solution globale des équations de Schrödinger nonlinéaires se décompose en temps grand en une somme de solitons et un reste dispersif. Après avoir illustré cette conjecture sur un modèle jouet, nous présenterons différents résultats qui sont autant de jalons vers une preuve de cette conjecture : stabilité des solitons, existence et stabilité de multi-solitons.

La classe des ensembles prox-réguliers (introduite en dimension finie sous le nom « positivement atteints » par Federer en 1959 et également connue sous les noms : « O(2)-convexe », « faiblement convexe », « Phi-convexe », « lisse au sens proximal ») constitue une extension remarquable et naturelle de la convexité. Nous débuterons cet exposé par une présentation générale de la théorie de la prox-régularité dans un cadre hilbertien. Nous verrons que (contrairement à  la convexité) cette notion peine à  bénéficier de propriétés de stabilité/préservation sous diverses opérations ensemblistes. A ce sujet, nous développerons quelques conditions suffisantes (dites « d’ouverture ») assurant la prox-régularité d’ensembles de contraintes et plus généralement d’ensembles de solutions d’équations généralisées. Nous nous attacherons enfin à  réaliser un tour d’horizon de la vaste gamme de problèmes mathématiques dans lesquels la prox-régularité intervient : analyse multivoque, théorie du contrôle, équations aux dérivées partielles, théorie spectrale, algorithmes de projections… Les problèmes d’évolution de Moreau (qui sont un exemple d’inclusions différentielles avec contraintes) bénéficieront d’une attention toute particulière.

Le but de cet exposé est de présenter quelques résultats pour la mise en évidence numérique du phénomène de superradiance, permettant l’extraction de l’énergie d’un trou noir sphérique de Reissner-Nordstrom à  partir d’une configuration dans laquelle l’énergie totale conservée n’est pas une quantité définie positive. Ceci autorise alors la possibilité d’obtenir loin du trou noir une énergie plus grande que ce qu’elle était à  l’instant initial. Nous présenterons le modèle sous-jacent, avec une attention particulière sur les méthodes numériques pour la simulation de celui-ci.

In this talk, we consider the global existence and large time behavior of solutions for reaction diffusion systems coming from reversible chemistry. First, we introduce the fundamental structures these systems hold, namely nonnegativity of solutions and total mass control. It is well known that, under homogeneous boundary conditions and with linear diffusions, these structures assure global existence of weak solutions if the nonlinearities are a priori bounded in $L^1$. Recently, this result was extended up to the case where diffusion operators are nonlinear (2017, Laamri-Pierre). We will recall these results and describe a slight improvement. It is mainly derived from the entropy structure. Next, we consider the large time behavior for these systems.