Date/heure
8 octobre 2019
10:45 - 11:45
Oratrice ou orateur
Lysianne Hari
Catégorie d'évènement Séminaire Équations aux Derivées Partielles et Applications (Nancy)
Résumé
Dans cet exposé, nous nous intéresserons au phénomène de « scattering » pour certaines EDPs dispersives non-linéaires : il s’agira de « comparer » la solution non-linéaire (lorsqu’elle existe globalement) à des solutions du problèmes linéaire lorsque le temps devient grand. Nous rappellerons d’abord les résultats connus sur R^d, à savoir que sous certaines conditions sur la non-linéarité, on peut effectivement comparer, en temps longs, la solution non-linéaire à des solutions linéaires. Ce résultat est dà» à un bon contrôle de la solution non-linéaire. Nous verrons aussi que des résultats similaires dans le cadre d’une variété riemannienne compacte M^k n’ont pas lieu d’être. La question à laquelle on tâchera de répondre (au moins partiellement) est donc la suivante : si on se place sur un espace produit de type R^d times M^k, quel est le comportement dominant ? Peut-on espérer avoir du « scattering » en faisant vivre seulement une partie des variables spatiales dans R^d ? Autrement dit : un contrôle « partiel » de la solution peut-il suffire à obtenir du « scattering » ? Nous verrons quelles sont les conditions naturelles sur la non-linéarité pour espérer des résultats de type « scattering » dans un espace produit et donnerons des idées de preuve pour la partie « technique » du résultat. Nous commencerons par les équations de Schrödinger qui ont été les premières à être étudiées dans ce cadre puis nous tâcherons d’exhiber le même type de comportement pour les équations de Klein-Gordon.