PDE and applications seminar | Nancy

In this talk, I will present controllability results for some linear and non-linear wave equations. The linear equations will be vector-valued and at different levels of regularity. I will give the main ideas of the proof of a change of regularity result. For the non-linear equations, I will consider the case of the focusing cubic Klein-Gordon equation. I will state a local controllability result around a regular solution, and a null-controllability result for scattering solutions. In the presence of damping, I will give both a positive and a negative stabilization result. I will also provide some ideas of proofs.

Initialement considéré comme un lemme clé dans les structures de régularité, le théorème de reconstruction s’est avéré être un outil analytique très flexible pour étudier l’intégration à la fois stochastique et déterministe en dimension supérieure. Dans cet exposé, nous discuterons d’une extension particulière du théorème de reconstruction dans un contexte stochastique où la famille de distributions sous-jacente satisfait certaines conditions naturelles impliquant des incréments rectangulaires. Cela nous permet de prouver l’existence et l’unicité d’une nouvelle classe d’équations aux dérivées partielles stochastiques de type hyperbolique qui combine l’intégration stochastique standard à la Walsh et les produits de Young.

Travail en collaboration avec Hannes Kern (TU Berlin).

Résumé

La modélisation du piégeage capillaire (un fluide reste confiné dans une région du sous-sol) conduit à  une équation de diffusion non-linéaire dégénérée dans laquelle le coefficient de diffusion est discontinu à  travers une interface. Le problème peut-être résolu par une méthode de décomposition de domaines globale en temps, basée sur l’algorithme de relaxation d’onde de Schwarz, avec des conditions de transmission non-linéaires de type Robin à  travers l’interface. Dans chaque sous-domaine, un problème en est résolu sur tout l’intervalle de temps à  chaque itération, avant l’utilisation des conditions de transmission. L’arrêt des itérations utilise un critère construit à  partir d’estimateurs d’erreurs a posteriori, distinguant les erreurs de discrétisation en espace, en temps et l’erreur due à  la décomposition de domaines. Ces estimateurs reposent sur la reconstruction de champs de pression et de flux conformes. Les itérations de décomposition de domaines peuvent ainsi être arrêtées dès que l’erreur de DD est inférieure aux erreurs de discrétisation.

Dans cet exposé, nous nous intéressons au problème de stabilisation par retour de sortie dynamique (et lisse) pour des systèmes de contrôle non uniformément observables. Dans un premier temps, nous analysons ce problème à  travers un exemple académique pour lequel le point d’équilibre auquel nous voulons stabiliser le système correspond à  une valeur de contrôle rendant le système inobservable. Dans un deuxième temps nous mettrons en évidence certaines difficultés liées au problème de l’observation des systèmes non uniformément observables.

La résistance aux traitements est une raison majeure d’échec des chimiothérapies contre le cancer. Afin d’étudier les effets de différents protocoles de traitement, l’équipe de M.Carré [Centre de Recherche en Oncologie et Oncopharmacologie, Aix-Marseille Université] a réalisé des séries d’expériences in vitro sur des cultures de cellules cancéreuses sensibles ou résistantes à  un certain médicament. Ces expériences ont mis en lumière l’intérêt des protocoles métronomiques, c’est à  dire de plus faibles doses de médicament données plus fréquemment, par rapport aux protocoles MTD (maximal tolerated dose) classiques. Pour comprendre et améliorer ces résultats, nous proposons avec G.Chapuisat [Institut de Mathématiques de Marseille, Aix-Marseille Université] une modélisation de ces expériences, et l’optimisation du traitement par différents outils mathématiques. Tout d’abord, une stratégie adaptative reposant sur l’analyse du modèle est définie. Ensuite, la théorie du contrôle optimal est utilisée pour proposer un nouveau protocole de traitement, qui a été testé sur les cultures de cellules. Enfin, avec H.Zidani, l’approche de la programmation dynamique est présentée pour répondre de manière plus pragmatique aux attentes médicales.

We present some extensions of Talenti’s comparison theorem for solutions of Poisson’s equation on domains in Euclidean space under Dirichlet boundary conditions. We show how these results can be particularly useful in proving isoperimetric inequalities for eigenvalues.

A certaines équations de Schrödinger non-linéaires (NLS), on peut associer une mesure de Gibbs invariante basée sur l’énergie correspondante. C’est l’ingrédient de base de l’approche euclidienne en théorie constructive des champs quantiques, ainsi que l’asymptote naturelle pour l’équation de la chaleur non-linéaire stochastique. Nous discuterons d’une certaine limite de champ moyen connectant ces mesures et les états d’équilibre du modèle quantique à  N corps sous-jacent. Plus spécifiquement, nous traiterons du cas le plus simple o๠une renormalisation est nécessaire pour la définition de la mesure de Gibbs: deux dimensions d’espace et interactions régulières. travail commun avec Mathieu Lewin (Paris-Dauphine) et Phan Thà nh Nam (LMU, Munich)

Cet exposé est dédié à  la modélisation et à  l’approximation   numérique du modèle d’Euler bitempérature dans le contexte de la   physique des plasmas. Ce système entre dans la catégorie des systèmes   hyperboliques non conservatifs dont l’étude est à  ce jour largement   incomprise tant du point de vue théorique que numérique. On introduit dans un premier temps un modèle cinétique sous-jacent   couplé aux équations de Poisson et d’Ampère. Le modèle bitempérature est alors obtenu par limite hydrodynamique   après un scaling ad-hoc. On présente ensuite différents schémas numériques pour approcher ce système. Nous détaillerons une première approche basée sur des schémas de type    cinétiques puis une seconde basée sur des schémas de relaxation de   type Suliciu. Enfin dans une dernière partie nous considèrerons une discrétisation   du modèle cinétique de type DVM. Le but est d’obtenir un schéma physiquement cohérent y compris dans la   limite fluide o๠on comparera ses résultats avec ceux des schémas précédents.

Dans cet exposé, on s’intéressera aux méthodes du contrôle pour étudier l’ergodicité des EDP stochastiques. Sous certaines hypothèses génériques sur l’équation (satisfaites par les équations de Navier-Stokes et de Ginzburg-Landau), nous montrerons l’existence et l’unicité de la mesure invariante et la convergence à  vitesse exponentielle des solutions. Il s’agit d’un travail en commun avec S. Kuksin et A. Shirikyan.

Dans cet exposé, nous nous placerons dans le cadre du trafic piéton et nous présenterons un modèle permettant de décrire la chute de capacité (c’est-à -dire le flux maximal de piétons par unité de temps) d’une sortie de salle lors d’une évacuation. Le modèle repose sur une loi de conservation et la capacité de la sortie est décrite par une contrainte sur le flux. Nous supposons que cette contrainte dépend de la solution du modèle elle-même, de façon non locale en espace. La chute de capacité se produit pour les hautes densités de piétons exprimant ainsi la congestion de la sortie. Par des simulations numériques, nous montrerons que le modèle est capable de reproduire deux effets paradoxales liés à  la chute de capacité et qui ont déjà  été observés et reproduits expérimentalement : l’effet ”Faster-Is-Slower” qui stipule qu’une augmentation de la vitesse des piétons peut entraîner une augmentation du temps d’évacuation, et une variante du “paradoxe de Braess” qui indique que placer un obstacle avant la sortie peut faire diminuer la pression des piétons sur la sortie et entraîner une réduction du temps d’évacuation. Nous présenterons également des améliorations du modèle initial. Ces travaux sont en collaboration avec Boris Andreianov, Carlotta Donadello et Massimiliano Rosini.

Bien que les domaines optimisant la première valeur propre du Laplacien soient bien connus, très peu de résultats existent concernant l’optimisation de valeurs propres loin dans le spectre. Dans les dernières années, il a été montré, à  travers une série de publication culminant par celle de Gittins et Larson, que les cuboïdes optimisant la k-ième valeur propre de Dirichlet ou de Neumann convergent vers le cube et ce en toute dimension. Nous verrons comment ce comportement diffère pour les tores plats. Nous montrons qu’en dimension inférieure à  10 il n’existe pas de tore plat limite à  ce problème d’optimisation asymptotique. Ce sera fait en obtenant un contrôle géométrique explicite sur le reste dans la loi de Weyl pour la fonction de compte des valeurs propres.