PDE and applications seminar | Nancy

The time-harmonic formulation of Maxwell’s equations presents several difficulties when the frequency is large. Here we propose a precise and efficient solution strategy that couples high order finite element discretizations with domain decomposition preconditioners. Finite elements suited for the approximation of the electric field are the curl-conforming (or edge) finite elements. Here, we revisit the classical degrees of freedom defined by Nédélec, in order to obtain a new more friendly expression in terms of the chosen high order basis functions. Moreover, we propose a general technique to restore duality between degrees of freedom and basis functions. We explicitly describe an implementation strategy, which we embedded in the open source domain specific language FreeFem++. In the second part, we focus on the preconditioning of the system resulting from the finite element discretization. In particular we investigate how two-level domain decomposition preconditioners recently analyzed for the Helmholtz equation work in the Maxwell case, both from the theoretical and numerical points of view. We apply these methods to the large scale problem arising from the modeling of a microwave imaging system, for the detection and monitoring of brain strokes. In this application accuracy and computing speed are indeed of paramount importance.

Ce travail s’inscrit dans un contexte de contrôle de la pollution d’origine agricole des ressources en eau, en alliant modélisation économique et hydrogéologique. Pour cela, nous définissons d’une part un objectif économique spatio-temporel prenant en compte le compromis entre l’utilisation d’engrais et les coà»ts de dépollution. D’autre part, nous décrivons le transport du polluant dans le sous-sol (3D en espace) par un système non linéaire d’équations aux dérivées partielles couplées de type parabolique (réaction-convection-dispersion) et elliptique dans un domaine borné. Des résultats génériques sont donnés (cf. [Augeraud-Véron, Choquet, Comte : JOTA 2017]) et le cas particulier des faibles concentrations est traité, cas pour lequel un résultat d’unicité est démontré par analyse asymptotique (cf. [Augeraud-Véron, Choquet, Comte : ESAIM COCV, à  paraitre]) ́. Quelques résultats numériques (2D en espace) illustreront ces résultats analytiques. Ces derniers pourront être élargis au cadre de la théorie des jeux, o๠plusieurs joueurs interviennent, avec notamment un résultat d’existence d’un équilibre de Nash.

On considère un système semi-linéaire d’interaction à  trois ondes posée sur un grand tore, avec nonlinéarité petite et forçage stochastique en angle des coefficients de Fourier. Ce système possède des mesures invariantes naturelles. Dans un certain régime asymptotique (taille du tore tendant vers l’infini, taille de la nonlinéarité tendant vers zéro et taille du forçage tendant vers zéro), on montre que dans un régime linéarisé autour des mesures invariantes, les fluctuations des modules des coefficients de Fourier convergent vers les solutions d’équations de Zakharov linéarisées apparaissant en théorie de turbulence d’ondes.

Dans cet exposé je présenterai une classe de problèmes variationnels classiques ou moins classiques de type « optimisation de forme » sur les compacts connexes 1-dimensionnels du plan. Je m’intéresserai tout particulièrement à  leur approximation dite « par champ de phase », qui abouti à  une méthode numérique. La nouveauté étant de pouvoir contraindre la connexité dans l’ensemble optimal trouvé. L’étude de la fonctionnelle d’approximation est elle même intéressante, car reliée à  une equation de type Allen-Cahn avec terme source singulier (i.e. mesure de Hausdorff).

Les varifolds sont une notion de surface généralisée introduite par Almgren en 1965 anfin d’étudier les points critiques de la fonctionnelle d’aire. Comme la plupart des concepts développés en théorie géométrique de la mesure, l’utilisation des varifolds a longtemps été dédiée à  l’étude théorique de problèmes variationnels géométriques. Cependant, la souplesse de ces concepts constitue un véritable avantage en ce qui concerne l’étude des surfaces discrètes : il est possible de munir d’une structure de varifold les surfaces classiques mais aussi la plupart des surfaces discrètes (nuages de points, approximations volumiques, triangulations etc.), ce qui permet d’étudier objets discrets et continus dans un même espace. J’expliquerai comment ce cadre nous a permis de définir une notion de courbure discrète unifiée (puis de seconde forme fondamentale) possédant de bonne propriétés de convergence et reposant uniquement sur la structure de varifold. Des calculs numériques effectués sur des nuages de points illustreront cette approche. Il s’agit d’un travail en collaboration avec G.P. Leonardi (univ. Modena e Reggio Emilia) et S. Masnou (Univ. Lyon).

The aim of this seminar is to present some results about minimal bubble clusters in some sub-Riemannian spaces. This amounts to find the best configuration of $min mathbb N$ regions in a manifold enclosing given volumes, in order to minimize their total perimeter. In a $n$-dimensional sub-Riemannian manifold, the perimeter is a non-isotropic $(n-1)$-dimensional measure that is defined according to the geometry. After an introduction to the subject, we will present some results concerning the cases $m=1$ (isoperimetric problem) and $m=2$ (double bubble problem), in a class of sub-Riemannian structures connected to the Heisenberg geometry. This is the framework of an open problem about the shape of isoperimetric sets, known as Pansu’s conjecture. We start by presenting the isoperimetric problem in Grushin spaces and Heisenberg type groups, under a symmetry assumption that depends on the dimension (based on joint work with R. Monti, University of Padova). We conclude by showing some recent results in collaboration with Giorgio Stefani (SNS, Pisa) concerning the double bubble problem in the Grushin plane.

The seminar concerns the approximation à  la Ambrosio-Tortorelli of the Griffith energy functional for brittle fracture. While the Griffith energy depends on the n-1 dimensional discontinuity set of any function, the approximating energies are elliptic functionals (depending on a further emph{phase field} variable) so more convenient to minimise by Numerical Analysis techniques. For this reason this phase field approximation is employed in a large number of Mechanical works. The result applies to the Dirichlet minimisation problem and follows from a sharp density result in the energy space for the Griffith functional, that can be applied in other situations, e.g. to prove different approximations of Griffith energy.

L’équation des ondes avec une condition de transmission modélise la propagation d’ondes dans des milieux différents avec des vitesses de propagation différentes. à€ l’interface de ces milieux, la condition de transmission est équivalente, pour les rayons, à  la loi de Snell-Descartes. Un rayon incident à  l’interface peut donc être réfléchi dans le milieu d’o๠il provient et transmis dans l’autre milieu. La difficulté du problème d’observabilité de cette équation repose sur le fait que la condition de contrôle géométrique n’est plus suffisante. En effet, des interférences entre des rayons transmis et réfléchis peuvent survenir à  l’interface de sorte qu’un rayon observé dans la région d’observation ne donne pas suffisamment d’informations sur le rayon initial. Dans cet exposé nous présenterons des conditions géométriques suffisantes pour l’observabilité frontière de l’équation des ondes avec une condition de transmission. Nous introduirons une construction géométrique permettant d’analyser systématiquement la propagation des rayons provenant de l’interface.

Dans cet exposé, nous présentons de nouveaux résultats concernant un problème d’interaction fluide-structure. Nous considérons le problème de Cauchy pour l’équation des vagues dans le cas o๠le domaine occupé par le fluide est à  surface libre et avec un fond plat sur lequel un objet solide se translate horizontalement sous l’effet de la force de pression du fluide. Nous examinons deux systèmes asymptotiques décrivant le cas d’un fluide parfait incompressible en faible profondeur correspondant aux équations de Saint-Venant et de Boussinesq. Nous décrivons le système couplé dans ces deux régimes asymptotiques afin d’établir des résultats d’existence et d’unicité pour des données régulières (au sens de Sobolev). Afin de déterminer le mouvement du solide, une analyse précise des termes asymptotiquement singuliers induits par les forces de frottements est nécessaire.

This talk summarizes joint works by the speaker and Anne-Sophie BonnetBen Dhia, Lucas Chesnel, Camille Carvalho and Juan-Pablo Borthagaray on how to solve problems with discontinuous, sign-changing coefficients. In electromagnetic theory, the effective response of specifically designed materials is modeled by strictly negative coefficients: these are the so-called negative materials. Transmission problems with discontinuous, sign-changing coefficients then occur in the presence of negative materials surrounded by classical materials. For general geometries, establishing Fredholmness of these transmission problems is well-understood thanks to the T-coercivity approach [2]. Let $sigma$ be a parameter that is strictly positive in some part of the computational domain, and strictly negative elsewhere. We focus on the scalar source problem: find $u$ such that $mathrm{div}sigma nabla u – omega^2 u = f $ plus boundary condition, where $f$ is some data and $omega$ is the pulsation. Denoting by $sigma^+$ the strictly positive value, and by $sigma^-$ the strictly negative value, one can prove that there exists a critical interval $I_sigma$, such that the scalar source problem is well-posed in the Fredholm sense if, and only, if, the ratio $sigma^-/sigma^+$ lies outside the critical interval [2]. One may derive similar results for the related eigenvalue problem [4]. The shape of the interface separating the two materials must be taken into account to solve the problems numerically. For a plane interface, there exist meshing rules that guarantee an optimal convergence rate for the finite element approximation. We propose a new treatment at the corners of the interface which allows to design meshing rules for an arbitrary polygonal interface and then recover standard error estimates. This treatment relies on the use of simple geometrical transforms to define the meshes. Numerical results illustrate the importance of this new design [5, 1]. In a last part (time permitting), we discuss the extension of those results to nonlocal problems with discontinuous, sign-changing coefficients [3]. References : [1] A.-S. Bonnet-Ben Dhia, C. Carvalho, P. Ciarlet Jr., Mesh requirements for the finite element approximation of problems with sign-changing coefficients, Numer. Math. (To appear). [2] A.-S. Bonnet-Ben Dhia, L. Chesnel, P. Ciarlet Jr., T-coercivity for scalar interface problems between dielectrics and metamaterials, Math. Mod. Num. Anal., 46 (2012), pp. 1363–1387. [3] J.P. Borthagaray, P. Ciarlet Jr., Nonlocal models for interface problems between dielectrics and metamaterials, Proceedings of the Metamaterials’2017 Conference, Marseille, France, IEEE (To appear). [4] C. Carvalho, L. Chesnel, P. Ciarlet Jr., Eigenvalue problems with signchanging coefficients, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, 355 (2017), pp. 671– 675. [5] L. Chesnel, P. Ciarlet Jr., T-coercivity and continuous Galerkin methods: application to transmission problems with sign changing coefficients, Numer. Math., 124 (2013), pp. 1–29.