PDE and applications seminar | Nancy

Je vais présenter un problème d’optimisation à frontière libre analogue au problème de Alt-Caffarelli pour les fonctions biharmoniques. Ce problème apparaît dans différentes questions d’optimisation de forme, dont la minimisation de la trainée d’un obstacle dans un fluide sous contrainte de mesure, la minimisation de la première valeur propre de l’opérateur de Stokes (ou de flambage) dans les domaines du plan, etc.. On s’attend à ce que la frontière libre obtenue soit généralement une union de courbes lisses, pouvant se rejoindre avec un angle d’environ 1.43pi, et je présenterai plusieurs résultats allant dans ce sens.

C’est un travail en collaboration avec Jimmy Lamboley.

Nous étudions un problème de résonance inverse sur un cylindre hyperbolique infini perturbé radialement et de manière compacte. En utilisant les symétries de ce type de géométrie, nous sommes amenés à étudier une équation de Schrödinger stationnaire sur la droite réelle avec un potentiel V, qui est la somme d’un potentiel de Pöschl-Teller et d’une perturbation que nous considérons intégrable et à support compact. Nous définissons les résonances comme les pôles des coefficients de réflexion avec une partie imaginaire négative. Nous prouvons que, sous certaines hypothèses sur le support de la perturbation compacte, nous sommes capables de résoudre la question de l’unicité dans le problème de résonance inverse. Nous donnons également des asymptotiques des résonances et montrons qu’elles sont asymptotiquement localisées sur deux branches logarithmiques et, selon la localisation du support de q, parfois aussi sur des lignes parallèles à l’axe imaginaire.

On s’intéresse à la notion d’observabilité pour l’équation de la chaleur posée sur un domaine $\Omega$. Étant donné un temps imparti et une donnée initiale quelconque, on cherche à savoir s’il est possible d’estimer la solution de l’équation de la chaleur sur $\Omega$ à l’instant final en fonction de l’évolution de la solution sur un sous-ensemble $\omega$ contenu dans $\Omega$. On souhaite déterminer quelle est la condition géométrique minimale sur \omega assurant l’observabilité. Je présenterai les travaux passés, puis le nouveau résultat obtenu avec Walton Green, Jérémy Martin et Marcu-Antone Orsoni.

Attention : le séminaire aura lieu en salle Döblin.

Abstract: Dispersive nonlinear partial differential equations can be used to describe a range of physical systems, from water waves to spin states in ferromagnetism. The numerical approximation of solutions with limited differentiability (low-regularity) is crucial for simulating fascinating phenomena arising in these systems including emerging structures in random wave fields and dynamics of domain wall states, but it poses a significant challenge to classical algorithms. Recent years have seen the development of tailored low-regularity integrators to address this challenge. Inherited from their description of physicals systems many such dispersive nonlinear equations possess a rich geometric structure, such as a Hamiltonian formulation and conservation laws. To ensure that numerical schemes lead to meaningful results, it is vital to preserve this structure in numerical approximations. This, however, results in an interesting dichotomy: the rich theory of existent structure-preserving algorithms is typically limited to classical integrators that cannot reliably treat low-regularity phenomena, while most prior designs of low-regularity integrators break geometric structure in the equation. In this talk, we will outline recent advances incorporating structure-preserving properties into low-regularity integrators. Starting from simple discussions on the nonlinear Schrödinger and the Korteweg–de Vries equation we will discuss the construction of such schemes for a general class of dispersive equations before demonstrating an application to the simulation of low-regularity vortex filaments. This is joint work with Yvonne Alama Bronsard, Valeria Banica, Yvain Bruned and Katharina Schratz.

On s’intéressera dans cet exposé à l’étude d’objets présentant un caractère singulier et des opérations mal posées, l’objet central étant l’opérateur d’Anderson, un opérateur de Schrödinger où le potentiel est un bruit blanc espace. Après avoir discuté de sa construction et des propriétés qui en découlent, on établira un contrôle de sa fonction de Green de l’opérateur afin de comprendre sa singularité.
Dans un deuxième temps, on s’intéressera à des dynamiques dirigées par cet opérateur et particulièrement à la construction de mesures invariantes dans ce cadre. On s’attardera sur la définition de la mesure gaussienne associée et son utilisation pour comprendre le modèle $\Phi^4_2$ dans un environnement régi par un bruit blanc espace. Après avoir construit la mesure invariante par des méthodes variationnelles, on s’intéressera aux propriétés qui découlent du point de vue dynamique : solutions globales, propriété de Feller et propriété de Feller forte.
Les résultat présentés sont basés sur des travaux en collaboration avec Antoine Mouzard et Tristan Robert.

On va montrer comment on peut définir le carré du module de la solution de l’équation de Schrödinger fractionnaire sur le tore avec condition initiale dans un espace de Sobolev arbitrairement singulier. Ensuite on va montrer comment cela peut être utile dans des estimations d’observabilité.

De nombreux travaux ont été consacrés à la dérivation d’approximations asymptotiques
des solutions d’une équation elliptique, lorsqu’on perturbe le milieu par des inhomogénéités
de petit volume. Les termes des développements asymptotiques des solutions contiennent
des informations sur la localisation, la forme et les propriétés physiques des inhomogénéités,
qui ont été exploitées avec bonheur dans le contexte des problèmes inverses d’identification
.
Dans cet exposé, nous présentons des résultats concernant le comportement des solutions
lorsque l’on perturbe la condition au bord sur un `petit’ ensemble $\omega_\e$. Nous caractérisons
le terme de premier ordre du développement asymptotique en fonction de la mesure pertinente de
la taille de la perturbation $\omega_\e$. Nous donnons des exemples explicites lorsque $\omega_\e$
est une boule surfacique dans $\R^d, d=2,3$.

Ce travail a été réalisé en collaboration avec Charles Dapogny et Michael Vogelius.

In this talk, I will briefly recall the historical Kalman filter and its ensemble form. Then I will show how the latter has been successfully implemented for data assimilation, in particular in numerical weather forecasting. More recently, the Ensemble Kalman Filter has been proposed as a methodology for solving very general inverse problems in high-dimensional contexts. I will present the theory, show some simple applications and point out the numerous open problems that remain.