Probabilities and Statistic seminar

We study a system of partial differential equations (PDEs) with interconnected obstacles and Neumann-type boundary conditions on a smooth bounded domain D. This system is the Hamilton-Jacobi-Bellman system of equations associated with multidimensional switching problem in finite horizon when the state process is constrained to live in the domain D. We prove the existence of a unique continuous viscosity solution. The existence of a viscosity solution is obtained using a probabilistic approach which connects the system of PDEs to a system of backward stochastic differential equations, where randomness is constrained to stay in the domain D. The second main result consists in verifying the maximum principle, which ensures the comparison between any viscosity sub-solution and super-solution of the PDEs system. This guarantees the uniqueness and continuity of the solution.

In this talk, we consider the problem of testing for the sphericity of a collection of random vectors. It is well known that in the classical elliptical model, testing for rotational symmetry of the underlying distribution is equivalent to testing that a scatter parameter is a multiple of the identity matrix. We consider the more general model of random vectors with elliptical directions introduced by R.H. Randles and present a few scenarios where testing for sphericity is still equivalent to testing that the scatter parameter is a multiple of the identity. These new scenarios include, for instance, non-classical settings where some dependence of a rather general form studied here for the first time may be present between observations. We study, under these new assumptions, the behavior of the classical spatial sign test and show that under certain mild assumptions, the test is asymptotically valid and has the same local asymptotic power as in the classical elliptical scenario. We then show that, contrary to some commonly held belief, the spatial sign test enjoys some local asymptotic optimality properties when it comes to testing for sphericity when the underlying distribution is strongly heavy-tailed.

(L’exposé sera en français, avec des slides en anglais.)

Dans cet exposé, je présenterai quelques travaux en cours avec Nicolas Fournier. Nous nous intéressons à des modèles simples décrivant le mouvement d’une particule dans un gaz. Une particule est alors représentée par un processus aléatoire décrivant sa position et sa vitesse et nous étudions le processus de position lorsque le taux de collision tend vers 0. Nous nous placerons dans le cas où l’équilibre (en vitesse) est à queue lourdes, et ne possède pas de moment d’ordre 2. Lorsque le processus de position n’est pas restreint à un domaine, et vit dans tout l’espace, il est assez clair que ce dernier converge en loi vers un processus $\alpha$-stable, lorsque le taux de collision tend vers 0. Nous étudions alors le cas où la particule est réfléchie dans un domaine convexe de la manière suivante : lorsqu’elle touche le bord du domaine, elle est “redémarrée” avec une vitesse dirigée vers l’intérieur du domaine, et distribuée selon une mesure de probabilité donnée. Nous montrons que la position de la particule converge en loi vers un processus $\alpha$-stable réfléchi dans le domaine. Après avoir introduit le modèle, j’expliquerai comment nous construisons le processus limite en “recollant” ses excursions, et je donnerai quelques éléments de preuve concernant la convergence en loi.

De nombreuses structures combinatoires admettent, au sens large, une notion d’irréductibilité : les graphes peuvent être connexes, les permutations indécomposables, les polynômes irréductibles, etc. Nous nous intéressons à la probabilité qu’un tel objet pris au hasard soit irréductible, lorsque sa taille tend vers l’infini. Dans cet exposé, nous discutons de quelques méthodes qui nous permettent d’obtenir les asymptotiques pour cette probabilité de manière commune. Nous montrons que les coefficients apparaissant dans ces asymptotiques sont entiers et qu’ils peuvent être interprétés comme des suites de comptage d’autres classes combinatoires “ dérivées ”. De plus, nous obtenons certaines probabilités asymptotiques qu’un objet combinatoire aléatoire ait un nombre donné de composantes irréductibles. Nous appliquons notre approche aux graphes connexes, aux graphes orientés fortement connexes, aux tournois irréductibles, aux surfaces à petits carreaux, aux permutations indécomposables, aux couplages parfaits indécomposables, aux cartes combinatoires, etc. Enfin, à l’aide de la théorie des espèces, nous traitons également le modèle G(n,p) de Erdős–Rényi.

Cet exposé est basé sur les travaux en commun avec Thierry Monteil et Sergey Dovgal.

Dans cette présentation, nous nous intéressons aux processus à multiples retours à la moyenne. Nous aborderons l’estimation des paramètres du processus d’Ornstein-Uhlenbeck (OU), qui présente un retour à la moyenne. Pour cela, nous proposons un estimateur basé sur les observations du supremum, en utilisant une méthode de pseudo-vraisemblance. Nous démontrerons la consistance et la normalité asymptotique de cet estimateur et illustrerons son efficacité à l’aide de données simulées et réelles.
Nous évoquerons également brièvement le processus CKLS à seuil, qui présente plusieurs retours à la moyenne, en discutant des méthodes d’estimation des paramètres de dérive et de volatilité, ainsi que des avantages d’une modélisation multi-seuils.