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L’approximation des équations aux dérivées partielles est un domaine mathématique lié à de nombreuses autres
sciences. Pour cette raison il est important de tenir compte des contraintes que ces autres domaines
apportent. Après une première partie dans laquelle j’introduirais l’approximation des EDP, je parlerais des
différences finies. Les méthodes de différences finies sont historiquement les premières méthodes a avoir été
développées. Après en avoir énoncé quelques résultats théoriques et présenté quelques schémas classiques, dans
une troisième partie, nous constaterons des limites de ces méthodes et nous proposerons quelques améliorations.

Sur un espace homogène, tout fibré équivariant irréductible est stable au sens de Mumford. J’esquisserai une preuve de ce résultat due à  Biswas. Par ailleurs, par des résultats de Mehta-Ramanathan ou Flenner, la restriction d’un fibré stable à  une intersection complète générique de grand degré reste stable.
Une question naturelle se pose alors : étant donné un fibré homogène irréductible, sur quelles intersections complètes le fibré devient-il instable, s’il y en a ?
Je présenterai plusieurs résultats montrant que, dans le cas du fibré cotangent sur un espace homogène minuscule (par exemple une Grassmannienne), de telles intersections complètes sont très rares. Leurs démonstrations reposeront sur un théorème d’annulation original concernant la cohomologie de Dolbeault des fibrés en droites sur ces espaces homogènes.