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Dans cet exposé, nous présenterons quelques résultats concernant l’étude
probabiliste de graphes (ou cartes) planaires aléatoires. Cette théorie, initiée par
Angel et Schramm au début des années 2000, vise à  comprendre les propriétés géométriques
de graphes planaires aléatoires dont la taille tend vers l’infini.
Les travaux de Le Gall et Miermont ont notamment permis de montrer
la convergence de certains modèles vers une surface aléatoire universelle,
la carte brownienne, qui constitue un analogue du mouvement brownien pour la sphère.
Après une introduction à  ces résultats, nous nous intéresserons à  des cartes
planaires aléatoires ayant de grandes faces, appelées cartes stables.

Ces travaux ont été effectués en collaboration avec Irène Marcovici.

Un automate cellulaire probabiliste (ACP) de mémoire 2 est un algorithme stochastique qui transforme 2 mots bi-infinis $a = eta_0 = (a_i)_{i in Z}$ et $b = eta_1 = (b_i)_{i in Z}$ en un troisième $c = eta_3 = (c_i)_{i in Z}$ de tel sorte que la loi de la lettre $c_i$ ne dépend que des lettres $(b_i,a_{i+1},b_{i+1})$. Les lettres $c_i$ sont choisies de manière synchrone et indépendante. Après avoir obtenu le mot $c$, on peut ré-appliquer l’ACP en prenant en entrée les mots $(b,c)$ et ainsi de suite. On obtient alors une suite de mots $(eta_t)_{t > 0}$ dont les lettres $(eta_t(i))$ forme ce que l’on appelle le diagramme espace-temps.

Ces ACP de mémoire 2 ont été initialement définis pour étudier le modèle à  8 sommets et nous verrons qu’ils sont également liés à  d’autres modèles de la physique statistique comme, par exemple, un nouveau modèle de TASEP synchrone ou le modèle d’Eden dans le demi-plan sur le réseau triangulaire.

Dans cet exposé, nous étudierons les lois invariantes de ces ACP, l’ergodicité de ces derniers, ainsi que les propriétés d’invariance de leur diagramme espace-temps. Ce sont des problèmes insolubles dans le cas général (y compris pour les ACP à  mémoire 1) et pour cela nous verrons que nous devons restreindre l’étude à  des cas o๠la loi invariante est de type mesure produit ou de type Markov.

S’il nous reste un peu de temps à  la fin, nous verrons comme les méthodes employées dans cet exposé permettent de déduire rapidement des propriétés sur un modèle de TASEP synchrone
généralisé.