Évènements

Les modèles d’appariements aléatoires représentent de nombreux systèmes stochastiques concrets dans lesquels des éléments de différentes classes sont appariés selon des règles de compatibilités spécifiées. Par exemple, on peut citer les systèmes dédiés à l’allocation d’organes, les sites de recherche d’emplois, de logements, etc. De tels modèles sont toujours associés à un triptyque d’éléments : un graphe connexe, dit de compatibilités, dont les sommets représentent les classes des éléments pouvant entrer dans le système et dont chaque arête relie deux classes compatibles, une politique d’appariements permettant de décider, en cas d’incertitude, quels appariements vont s’effectuer à l’intérieur du système, et un taux d’arrivées selon lequel les éléments entrent en son sein. Dans cet exposé, nous considérerons des graphes généralisés, c’est-à-dire que l’on autorisera l’appariement de deux éléments de la même classe, et nous étendrons donc à ce cadre certains résultats déjà connus dans le cas de graphes simples.

La stabilité d’un système régi par un modèle d’appariements est une propriété très importante. En effet, elle assure que les admissions au sein du système étudié sont contrôlées de sorte que les éléments ne restent pas bloqués à l’intérieur et que leur nombre n’augmente pas indéfiniment. Il est donc essentiel que le taux d’arrivées des éléments permette au système d’être stable. Dans cet exposé, nous caractériserons de manière algébrique cette zone de stabilité pour certains modèles d’appariements (généraux, généraux avec abandons, bipartis, bipartis étendus) ou de files d’attente, dites skill-based.

Par ailleurs, nous montrerons que la politique d’appariements dite First Come, First Matched (FCFM) possède la propriété d’être maximale (généralisée), c’est-à-dire que la zone de stabilité du modèle d’appariements général associé à un graphe de compatibilités et à une politique quelconque est toujours incluse dans celle associée à ce même graphe et à FCFM. Notons que cette dernière coïncide alors avec un ensemble de mesures défini par des conditions purement algébriques. Dans ce cas, la question de l’étude des mesures permettant la stabilité des systèmes régis par un modèle d’appariements revient donc à celle, plus élémentaire, de la caractérisation d’un ensemble déterministe. Nous donnerons alors un moyen de construction (simple) des mesures appartenant à celui-ci, ce qui peut s’avérer très utile pour calibrer le contrôle d’accès au système. En effet, la vérification algorithmique qu’une mesure quelconque vérifie ces conditions algébriques nécessite un nombre d’opérations polynomial en le nombre de sommets du graphe, et devient donc très coûteuse à mesure que ce cardinal augmente.

Nous expliciterons également, sous une forme produit, l’expression de la loi stationnaire de l’évolution temporelle du contenu d’un système stable régi par un modèle d’appariements général et sous la politique FCFM, permettant, notamment, de calculer explicitement des caractéristiques à l’équilibre de systèmes concrets et d’estimer leurs performances en temps long. On peut ainsi, par exemple, calculer la taille moyenne à l’équilibre d’une liste d’attente dans le cadre de dons croisés de reins, ou encore, estimer le temps moyen d’attente sur une interface pair-à-pair ou un site de rencontres.

Enfin, les taux d’appariements associés à un modèle d’appariements (général ou biparti étendu) stable seront étudiés. Ils sont définis comme étant les fréquences asymptotiques des appariements réalisés et fournissent un critère de performance des systèmes régis par de tels modèles d’appariements, de même que les propriétés de politique-insensibilité et d’équité de ces taux, qui seront également discutées.

Hawkes process was introduced by Hawkes in 1971 and are widely used in many applications (earthquakes, neurons, social network, finance, etc.). This jump process has an intensity which depends on the past. Linear « self-exciting » Hawkes process has been particularly studied and some asymptotic results are well-known.
During my PhD, with Manon Costa and Patrick Cattiaux, I considered non-linear Hawkes processes, which can model self-inhibition and self-excitation. We proved asymptotic properties (law of large numbers, CLT, large deviations), by considering a new point of view for this process: the renewal structure of some Hawkes process leads to a comparison with cumulative processes.
In this talk, I’ll introduce Hawkes processes and cumulative processes. By exhibiting their link, I’ll give an idea of the approach we use to prove asymptotic properties.

On considère des intersections de formes diagonales à coefficients entiers de degrés distincts. Nous établissons une formule asymptotique pour le nombre N(X)  des points rationnels de hauteur au plus X sur ces variétés. La preuve utilise la méthode de Hardy-Littlewood (dite Méthode du Cercle) et des avancées récentes sur le système de Vinogradov. Nous établissons également un résultat plus fin pour un choix particulier de degrés, en utilisant une technique due à Wooley et une estimation de sommes d’exponentielles issue d’une approche récente de la méthode de van der Corput. Les résultats présentés ici font l’objet d’un travail en commun avec S. Boyer.