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Modèles individu-centrés en dynamique adaptative, comportement asymptotique et équation canonique : le cas des mutations petites et fréquentes.

Catégorie d'évènement : Groupe de travail Probabilités et Statistique Date/heure : 21 septembre 2023 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Vincent Hass (IECL) Résumé :

Le premier groupe de travail, un peu plus tôt que d’habitude. Voici le résumé.

La théorie des dynamiques adaptatives est une branche de la biologie de l’évolution qui étudie les liens entre écologie et évolution. Les hypothèses biologiques qui définissent son cadre sont celles de mutations rares et petites et de grande population asexuée. Les modèles de dynamiques adaptatives décrivent la population au niveau des individus, lesquels sont caractérisés par leurs phénotypes, et visent à étudier l’influence des mécanismes d’hérédité, de mutation et de sélection sur l’évolution à long terme de la population. Le succès de cette théorie vient notamment de sa capacité à fournir une description de l’évolution à long terme du phénotype dominant dans la population comme solution de « l’Equation Canonique des Dynamiques Adaptatives » dirigée par un gradient de fitness, où la  fitness décrit la possibilité d’invasions mutantes, et est construite à partir de paramètres écologiques.
Deux approches mathématiques principales portant sur l’équation canonique ont été développées à ce jour: une approche basée sur des EDP et une approche stochastique. Malgré son succès, l’approche stochastique est critiquée par des biologistes puisqu’elle est basée sur une hypothèse non-réaliste de mutations trop rares.
Le but est de corriger cette controverse biologique en proposant des modèles probabilistes plus réalistes. Plus précisément, le but est de s’intéresser mathématiquement, sous une double asymptotique de grande population et de petites mutations, aux conséquences d’une nouvelle hypothèse biologique de mutations fréquentes sur l’équation canonique. Il s’agit de déterminer, à partir d’un modèle stochastique individu-centré, le comportement en temps long du trait phénotypique moyen de la population. La question que l’on se pose se reformule en une analyse asymptotique lent-rapide agissant sur deux échelles de temps éco-évolutives. Une échelle lente correspondant à la dynamique du trait moyen et une rapide correspondant à la dynamique d’évolution de la distribution recentrée et dilatée des traits.
Cette analyse asymptotique lent-rapide repose sur des techniques de moyennisation. Cette méthode requiert d’identifier et de caractériser le comportement asymptotique de la composante rapide et que cette dernière possède des propriétés d’ergodicité. Plus précisément, le comportement en temps long de la composante rapide est non-classique et correspond à celui d’une diffusion à valeurs mesures originale qui s’interprète comme un processus de Fleming-Viot recentré que l’on caractérise comme l’unique solution d’un certain problème de martingale. Une partie de ces résultats repose sur une relation de dualité portant sur ce processus non-classique et nécessite des conditions de moments sur les données initiales. Au moyen de techniques de couplage et de la correspondance entre les processus particulaires de Moran et les généalogies de Kingman, on établit que le processus de Fleming-Viot recentré satisfait une propriété d’ergodicité avec résultat de convergence exponentielle en variation totale.
La mise en oeuvre des méthodes de moyennisation, inspirée par Kurtz, est fondée sur des arguments de compacité-unicité. L’idée consiste à prouver la compacité des lois du couple constitué de la composante lente et de la mesure d’occupation de la composante rapide puis d’établir un problème de martingale pour tous points d’accumulation de la famille des lois de ce couple. La dernière étape consiste à identifier ces points d’accumulation. Cette méthode requiert notamment l’introduction de temps d’arrêt pour contrôler les moments de la composante rapide et de prouver qu’ils tendent vers l’infini à l’aide d’arguments de grandes déviations, de réduire le problème posé initialement sur la droite réelle au cas du tore afin de prouver la compacité, d’identifier la limite de la composante rapide en adaptant un argument basé sur la dualité de Dawson, d’identifier la limite de la composante lente puis de passer du tore à la droite réelle.

Toeplitz operators on quotient domains

Catégorie d'évènement : Séminaire Théorie de Lie, Géométrie et Analyse Date/heure : 21 septembre 2023 14:15-15:15 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : E. K. Narayanan (Indian Institute of Science) Résumé :

Let $G$ be a finite pseudo-reflection group and $\Omega$ be a bounded domain in $\mathbb C^d$ which is $G$-invariant. The quotient domain $\Omega/G,$ is biholomorphically equivalent to a domain ${{\boldsymbol \theta}} (\Omega)$ where ${{\boldsymbol \theta}} : \Omega \to {{\boldsymbol \theta}}(\Omega)$ is a basic polynomial map. Prominent example of a quotient domain is the symmetrized polydisc $\mathbb G_d$ in $\mathbb C^d.$ In this case, the basic polynomial map is given by $z \to (s_1(z), s_2(z), \cdots s_d(z))$ from $\mathbb D^d$ (unit polydisc in $\mathbb C^d$) to $\mathbb G_d$ where $s_j(z)$ is the $j$-th elementary symmetric polynomial. We study properties of Toeplitz operators on weighted Bergman spaces on ${{\boldsymbol \theta}}(\Omega)$ by establishing a connection of them with Toeplitz operators on weighted Bergman spaces on $\Omega.$ Results on zero product problem and commuting pairs of Toeplitz operators will be explained. Representation theory of $G$ and projections to isotypic components play an important role in our results. (Joint work with Gargi Ghosh)

Problème de cible rétrécissante simultanée des systèmes dynamiques x2 et x3

Catégorie d'évènement : Séminaire de Théorie des Nombres de Nancy-Metz Date/heure : 21 septembre 2023 14:30-15:30 Lieu : Salle Döblin Oratrice ou orateur : Lingmin Liao Résumé :

Nous étudions la taille des ensembles de points dans l’intervalle unitaire dont les orbites sous les systèmes dynamiques x2 et x3 tombent simultanément dans une famille donnée de boules rétrécissantes (cibles rétrécissantes). Une loi zéro-un pour la mesure de Lebesgue de tels ensembles est établie. La formule des dimensions de Hausdorff est également obtenue lorsque les rayons des boules diminuent de façon exponentielle. Nous soulignons qu’une partie de la formule dimensionnelle est établie en admettant la fameuse conjecture abc. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Bing Li, Sanju Velani et Evgeniy Zorin.

Strichartz's conjecture for Poisson transforms and generalized spectral projections on spinors

Catégorie d'évènement : Séminaire Théorie de Lie, Géométrie et Analyse Date/heure : 21 septembre 2023 15:45-16:45 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Khalid Koufany Résumé :

We consider the real hyperbolic space $H^n(R)$ as the symmetric space $\operatorname{Spin}_0(1, n) / \operatorname{Spin}(n)$.
We prove that the Poisson transform is an isomorphism between the space of $L^2$-spinors on the unit sphere $S^{n-1}$ and a certain weighted $L^2$-space consisting of joint eigenspinors on $H^n(R)$. For this purpose, we prove a Fourier restriction estimate and an asymptotic formula for the Poisson transform.
As a consequence we prove a characterization for the generalized spectral projections.
This is a joint work with A. Boussejra.