Évènements

Forme asymptotique des trous dans une percolation booléenne de grand paramètre

La mosaïque de Poisson-Voronoï est un objet classique en géométrie aléatoire : on jette des « germes » de façon poissonnienne dans l’espace euclidien ℝ^d ; et à chaque germe, on associe la « cellule » des points de l’espace situés plus près de lui que de n’importe quel autre germe. (Ce qui, au passage, donne lieu à de jolis dessins 😇). On peut alors chercher à comprendre les « phénomènes extrêmaux » d’un tel processus aléatoire, à savoir, répondre aux questions du type : lorsqu’une cellule possède un comportement extraordinaire, conditionnellement à cela, à quoi ressemble-t-elle ? Cette problématique a notamment été étudiée par Pierre CALKA et Nicolas CHENAVIER.

Ici nous nous intéressons aux cellules de très grand circumrayon, c’est-à-dire, les cellules dont une partie du bord est située à distance > R du germe pour un R très grand. L’existence d’une telle cellule est équivalente à dire qu’il y a dans l’espace une boule de rayon R entièrement vide de germes. Or, dans un tel cas, à ce vide sont toujours associées plusieurs (au moins d + 1) cellules de grand circumrayon. Mais combien au juste ? Il se trouve que, lorsqu’on fait tendre R vers l’infini, la loi du nombre de cellules dans un tel « agrégat » de cellules de grand circumrayon converge vers une limite qui n’est pas dégénérée (pour d > 1)… mais dont le comportement est encore mal compris !

Dans cette paire d’exposés, je vais raconter comment j’ai étudié cette loi-limite du nombre d’agrégats, via des objets géométriques aléatoires qui sont intéressants en tant que tels. L’étude de ces objets, ainsi que leur simulation, fait intervenir plusieurs idées intéressantes. Mon but ultime sera notamment de vous expliquer comment je suis parvenu à démontrer que l’espérance du nombre de cellules dans un agrégat (qu’on appelle, dans le jargon, « l’inverse de l’indice extrêmal ») vaut 2d, confirmant et généralisant une conjecture émise par P. Calka il y a une dizaine d’années.

Ce premier exposé sera plus spécifiquement consacré à l’étude asymptotique de la forme des zones situées à distance plus de R de tout germe : nous montrerons comment une renormalisation appropriée permet d’obtenir une convergence de cette forme vers une loi de probabilité non triviale, loi que nous définirons rigoureusement.

Le problème de Danzer (1961) pose la question de savoir s’il existe un ensemble de densité finie (i.e. « ne contenant pas beaucoup de points ») intersectant tout corps convexe de volume unité. Il a attiré à lui une somme considérable de travaux regroupant un large spectre des mathématiques modernes.

Nous nous intéresserons à une approche récente obtenue en relâchant la contrainte de volume. Ceci conduit au problème de la construction de forêts dites denses qui entretient des liens très étroits avec des problèmes de répartition modulo un et d’approximation diophantienne. Nous présenterons des constructions de telles forêts denses découlant de l’analyse harmonique et de l’estimation de sommes exponentielles.