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Le calcul des rapports de constante de normalisation joue un rôle important dans la modélisation statistique. Deux exemples notables sont les tests d’hypothèses dans les modèles à variables latentes et la comparaison de modèles en statistique bayésienne. Dans ces deux cas, le rapport de vraisemblance et le facteur de Bayes sont définis comme le rapport des constantes de normalisation des distributions a posteriori. Nous proposons dans cet article une nouvelle méthodologie qui estime ce rapport en utilisant le principe de l’approximation stochastique. Notre estimateur est consistant et asymptotiquement gaussien. Sa variance asymptotique est plus faible que celle de l’estimateur populaire bridge sampling. En outre, il est beaucoup plus robuste lorsque les supports des deux distributions non normalisées considérées se chevauchent peu. Grâce à sa définition en ligne, notre procédure peut être intégrée dans un processus d’estimation dans les modèles à variables latentes, ce qui permet ainsi de réduire l’effort de calcul. Les performances de l’estimateur sont illustrées par une étude de simulation et comparées à celles de deux autres estimateurs : le ratio importance sampling et le bridge sampling.

A celebrated result of Duke from the 80’s says that closed geodesics on the modular curve equidistribute as the discriminant tends to infinfity. This is the real quadratic analogue of the equidistribution of CM-points on the modular curve associated to class groups of imaginary quadratic fields. In this talk I will describe a number of generalizations of the result of Duke including; the distribution of the homology classes of closed geodesics, and hyperbolic orbifolds associated class groups of real quadr. fields (as defined by Duke-Imamouglu-Toth). I will emphasize the similarities and differences with the imaginary case. If time permits I will also discuss a q-orbit analogue.